Gâteaux 導數

設 和 為巴拿赫空間，且設 為它們之間的函式。 被稱為是 Gâteaux 可微的，如果存在一個運算元 ，使得對於所有 ,

(1)

運算元 被稱為 在 處的 Gâteaux 導數。 有時被假定為有界的，儘管在沒有這個假設的情況下，Gâteaux 可微性的大部分理論仍然不變。

如果 Gâteaux 導數存在，則它是唯一的。

關於 Gâteaux 導數的一個基本結果是， 在點 處是 Gâteaux 可微的，當且僅當所有方向運算元

(2)

存在並形成一個有界 線性運算元 。此外，Gâteaux 導數滿足來自基本微積分的許多性質的類似物，包括形式為均值性質

(3)

Fréchet 導數的一個定義涉及 Gâteaux 導數在 的單位球面上的均勻存在性（Andrews 和 Hopper）。 特別是，Fréchet 可微性強於 Gâteaux 意義下的可微性，這意味著每個 Fréchet 可微的函式都自動在 Gâteaux 意義上可微，儘管反之則一般不成立。Andrews 和 Hopper 給出了一些標準，用於確定這兩個概念何時等價，同時指出這兩個概念在無限維空間的情況下與有限維空間的情況表現出截然不同的行為。