完備黎曼度量

在完備黎曼度量中，測地線無限延伸，即每條測地線都等距於實數線。例如，歐幾里得空間是完備的，但開單位圓盤不是完備的，因為任何測地線都在有限距離處結束。一個流形是否完備取決於度量。

例如，具有通常度量的穿孔平面 不是完備的。然而，使用黎曼度量 ，穿孔平面是無限（平坦）圓柱體，它是完備的。上面的圖示說明了一條測地線，它只能行進有限的距離，因為它到達了穿孔平面中的一個孔，這例證了具有通常度量的穿孔平面不是完備的。路徑 是由弧長引數化的測地線。

在緊流形上的任何度量都是完備的。因此，緊流形的萬有覆蓋上的拉回度量是完備的。