緊緻-開拓撲

緊緻-開拓撲是函式空間上常用的一種拓撲。假設 和 是拓撲空間，C(X,Y) 是從 的連續對映的集合。C(X,Y) 上的緊緻-開拓撲由以下形式的子集生成：

(1)

其中 是 中的緊緻集， 是 中的開集。（因此得名“緊緻-開”）。重要的是要注意，這些集合在交集下不是閉合的，並且不構成拓撲基。相反，集合 構成緊緻-開拓撲的子基。也就是說，緊緻-開拓撲中的開集是 的有限交集的任意並集。

比較拓撲的最簡單的函式空間是實值連續函式 的空間。函式序列 收斂到 當且僅當對於每個包含 的 ，除了有限個 外，包含所有 。因此，對於所有 和所有 ，存在一個 ，使得對於所有 ，

(2)

例如，函式序列 收斂到零函式，儘管每個函式都是無界的。

當 是度量空間時，緊緻-開拓撲與緊緻收斂的拓撲相同。如果 是區域性緊 豪斯多夫空間，一個相當弱的條件，那麼求值對映

(3)

由 定義的對映是連續的。類似地， 是連續的 當且僅當對映 ，由 給出，是連續的。因此，緊緻-開拓撲是同倫理論中使用的正確拓撲。