由 L. 科拉茨於 1937 年提出的問題，也稱為 
對映、 
問題、哈塞演算法、角谷猜想、錫拉丘茲演算法、錫拉丘茲問題、Thwaites 猜想和烏拉姆問題 (Lagarias 1985)。Thwaites (1996) 為解決該猜想提供了 1000 英鎊的獎勵。設 
為一個整數。那麼，科拉茨猜想的一種形式是詢問迭代
 |
(1)
|
對於正數 
是否總是返回到 1。（如果包括負數，則有四個已知的迴圈（不包括平凡的 0 迴圈）：(4, 2, 1)、(
, 
)、(
, 
, 
, 
, 
) 和 (
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
)。）
由序列產生的科拉茨猜想的成員有時被稱為冰雹數。Conway 證明了原始的科拉茨猜想沒有長度小於 
的非平凡迴圈。Lagarias (1985) 表明，沒有長度小於 
的非平凡迴圈。Conway (1972) 還證明了科拉茨型別的猜想在形式上可能是不可判定的。Kurtz 和 Simon (2007) 證明了科拉茨猜想的自然推廣是不可判定的；不幸的是，這個證明不能應用於原始的科拉茨猜想。
科拉茨演算法已經過測試，發現對於所有小於等於 
（約 5.48×10^(18)）的數字，總是能達到 1 (Oliveira e Silva 2008)，改進了早期的 
(Vardi 1991, p. 129) 和 
(Leavens and Vermeulen 1992) 的結果。由於解決這個問題非常困難，Erdős 評論說“數學尚未為解決此類問題做好準備” (Lagarias 1985)。
下表給出了前幾個起始值獲得的序列 (OEIS A070165)。
 |  ,  ,  , ... |
| 1 | 1 |
| 2 | 2, 1 |
| 3 | 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 |
| 4 | 4, 2, 1 |
| 5 | 5, 16, 8, 4, 2, 1 |
| 6 | 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 |
演算法達到 1 所需的步數，對於 
, 2, ... 分別是 0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, 20, 20, 7, ... (OEIS A006577；如上圖所示)。其中，三倍步數是 0, 0, 2, 0, 1, 2, 5, 0, 6, ... (OEIS A006667)，而減半步數是 0, 1, 5, 2, 4, 6, 11, 3, 13, ... (OEIS A006666)。產生包含 
, 2, ... 的科拉茨序列的最小起始值 
分別是 1, 2, 3, 3, 3, 6, 7, 3, 9, 3, 7, 12, 7, 9, 15, 3, 7, 18, 19, ... (OEIS A070167)。
科拉茨猜想可以用 8-暫存器機器 (Wolfram 2002, p. 100)、準細胞自動機 (Cloney et al. 1987, Bruschi 2005) 或 6 色一維準細胞自動機來實現，後者具有區域性規則，但會環繞首尾數字 (Zeleny)。一般來說，構建真正的區域性規則細胞自動機的困難在於乘以 3 時需要進位操作，在最壞的情況下，進位操作可能會擴充套件到基數-
位表示的整個長度（因此需要以快於 CA 光速的速度傳播資訊）。
科拉茨猜想被 Terras (1976, 1979) 修改，他詢問迭代
 |
(2)
|
對於初始整數值 
是否總是返回到 1（例如，Lagarias 1985, Cloney et al. 1987）。這只是上面的原始陳述，但如果 
是奇數，則將除以 2 的步驟合併到加法步驟中，從而壓縮了步數。下表給出了前幾個起始值 
, 2, ... 的序列 (OEIS A070168)。
 |  ,  , ... |
| 1 | 1 |
| 2 | 2, 1 |
| 3 | 3, 5, 8, 4, 2, 1 |
| 4 | 4, 2, 1 |
| 5 | 5, 8, 4, 2, 1 |
| 6 | 6, 3, 5, 8, 4, 2, 1 |
| 7 | 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 |
如果包括負數，則有 4 個已知的迴圈：(1, 2)、(
)、(
, 
, 
) 和 (
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
)。它是“廣義科拉茨猜想”的一個特例，其中 
, 
, 
, 
和 
。Terras (1976, 1979) 還證明了整數集 
具有極限漸近密度 
，這樣，如果 
是滿足 
且 
和 
的 n 的數量，則極限
 |
(3)
|
存在。此外，當 
時，
，因此幾乎所有整數都具有有限的停止時間。最後，對於所有 
，
 |
(4)
|
其中
 |  |  |
(5)
|
 |  |  |
(6)
|
 |  |  |
(7)
|
(Lagarias 1985)。
科拉茨猜想的推廣讓 
為正整數，
, ..., 
為非零整數。還讓 
滿足
 |
(8)
|
然後
 |
(9)
|
對於 
定義了一個廣義科拉茨對映。一個等價的形式是
 |
(10)
|
對於 
，其中 
, ..., 
是整數，
是向下取整函式。這個問題與遍歷理論和馬爾可夫鏈有關。Matthews 獲得了以下對映表
 |
(11)
|
其中 
。
 | 迴圈數 | 最大迴圈長度 |
| 0 | 5 | 27 |
| 1 | 10 | 34 |
| 2 | 13 | 118 |
| 3 | 17 | 118 |
| 4 | 19 | 118 |
| 5 | 21 | 165 |
| 6 | 23 | 433 |
Matthews 和 Watts (1984) 提出了以下猜想。
1. 如果 
，則對於 Z 中的 
，所有軌跡 
最終都會迴圈。
2. 如果 
，則對於 Z 中的 
，幾乎所有軌跡 
都是發散的，但滿足以下條件的整數 
的例外集合除外
 |
(12)
|
3. 迴圈數是有限的。
4. 如果對於 Z 中的 
，軌跡 
不是最終迴圈的，則迭代在 mod 
下均勻分佈，對於每個 
，有
 |
(13)
|
對於 
。
Matthews 認為對映
 |
(14)
|
將達到 0 (mod 3) 或進入迴圈 
或 
之一，併為證明提供 100 美元（澳元？）的獎金。
, 
." Adv. Math. 25, 42-45, 1977.Guy, R. K. "科拉茨序列。" §E16 in 
Problem." Elem. Math. 55, 142-155, 2000.Wolfram, S.