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海嘯的數學

作者：Eric W. Weisstein 和 Michael Trott

2005年1月14日——2004年12月發生在印度洋的9.0級地震所引發的近期悲劇事件提醒我們，為了防止自然災害造成不必要的生命損失，我們需要對複雜的物理現象進行科學的理解和建模（參見 Post 和 Vatta 2005）。

雖然海嘯的全面物理學和建模是困難的問題，需要使用超級計算機和複雜的定製軟體，但可以進行一些近似，使得海嘯傳播問題對於執行現成軟體（如 的 Mathematica）的功率適中的計算機來說是可處理的。

最簡單的水波理論可以合理地近似真實海洋波的行為，它是耦合偏微分方程組，稱為淺水波方程（Pelinovsky等人 2001，Layton 2002），如上所示。這裡，u 和 v 是水面水平速度分量，x 和 y 是波浪的空間座標，t 是經過時間，g 是重力加速度，h 是波浪在海底地形 b 上方的高度。

海嘯物理學的一部分包括“破碎”現象，或者當波浪靠近海岸線時翻滾。然而，由於水的頂部介面僅接觸其上方的空氣層，因此它本質上是自由的。這意味著必須在所謂的自由邊界值問題的背景下求解微分方程，這通常是出了名的難以處理，並且需要複雜且困難的計算（Guyenne 和 Grilli 2003）。此外，當海嘯長距離傳播時，必須包括所謂的科里奧利加速度項，以考慮到波浪傳播所參照的參考系（即地球）是旋轉的這一事實。

Zahibo等人 (2003) 進行了如此全面的計算。但是由於淺水波方程難以求解，因此有時會以多種方式簡化這些方程，包括將其線性化。線性化版本將水粒子的速度取為 (u, v) = ，即梯度的標量勢。即使這個線性化版本也具有非常規的邊界條件，這些條件難以正確處理。取尤拉無粘性運動方程的各種漸近極限，會得到一系列可積和近乎可積的方程，例如Korteweg-de Vries 方程、Camassa-Holm 方程、非線性薛定諤方程等等（Rahman 1995，Johnson 2003）。不幸的是，雖然這些方程具有精確（可積）解，但對於任何非非常短的時間尺度，它們也會偏離完整方程描述的真實行為（Johnson 2003）。因此，需要對淺水波方程進行完整求解，以便獲得海嘯傳播的任何真實影像。

透過 Mathematica 數值求解淺水波方程計算出的海嘯視覺化。初始條件為高斯位移，底部幾何形狀在深海中被認為是平坦的，像餘弦函式一樣接近海岸線，並且是徑向對稱的。

為了建立上述海嘯視覺化，我們使用了 Mathematica 的 NDSolve 命令來求解淺水波方程，初始條件為高斯水位移。海底被假定為在中間是深且深度恆定的，同時像餘弦函式一樣平滑地向岸邊傾斜。在上面的動畫中，我們可以清楚地看到許多真實的物理效應，包括：（1）海嘯的區域性傳播；（2）徑向波陣面內海平面的一小部分偏移（這種效應僅存在於偶數維繫統中；在本例中為二維）；以及（3）波陣面在接近海岸時變陡。當波浪接近海岸時，動畫停止了，因為當深度變得與波長相當時，淺水波方程不再能準確描述波浪的傳播。

在國家海洋和大氣管理局網站上，可以看到使用定製軟體和實際海岸線進行的更復雜的模擬。對生成此動畫所用程式碼感興趣的讀者可以下載相應的 Mathematica 筆記本。在一臺速度適中的臺式電腦上求解方程不到一分鐘。