Walsh 函式

Walsh 函式由方波脈衝序列組成（允許的狀態為 和 1），使得躍遷可能只發生在單位時間步長的固定間隔處，初始狀態始終為 ，並且這些函式滿足某些正交關係。 特別是， 階 Walsh 函式 由 Hadamard 矩陣 的行給出，當以所謂的“序數”順序排列時（Thompson et al. 1986, p. 204; Wolfram 2002, p. 1073）。 存在 個長度為 的 Walsh 函式，如上圖所示，針對 、2 和 3。

電氣工程師，如 Frank Fowle，在 1890 年代使用 Walsh 函式來查詢最小化串擾的導線換位，Walsh (1923; Wolfram 2002, p. 1073) 將其引入數學領域。

令人驚訝的是，連線 Walsh 函式 （同時用 0 替換 ），其中 是 上限函式，給出了 Thue-Morse 序列 (Wolfram 2002, p. 1073)。 的值由 顯式給出，前幾個值為 1, 2, 3, 6, 11, 22, 43, 86, 171, ... (OEIS A005578)。

Walsh 函式可以以多種方式排序，如上圖所示 (Wolfram 2002, p. 1073)。 Walsh 函式的序數 定義為時間基一個週期內過零點數量的一半。 在序數順序（左圖）中，每行比前一行多一個顏色變化。 在自然（或 Hadamard）順序（中圖）中，Walsh 函式顯示巢狀結構。 Dyadic（或 Paley）順序（右圖）與行的 格雷碼 重新排序有關 (Wolfram 2002, p. 1073)。

具有不同序數的 Walsh 函式是正交的，函式 和 也是正交的。 兩個 Walsh 函式的乘積也是 Walsh 函式。

Harmuth (1969) 指定偶 Walsh 函式 和奇 Walsh 函式 ，

			(1)
			(2)

其中 是序數。

將一組二維資料（表示為大小為 2 的冪的方陣）與相應的 Walsh 函式陣列進行矩陣乘積稱為 Walsh 變換 (Wolfram 2002, p. 1073)。 Walsh 變換可以特別有效地執行，從而產生所謂的快速 Walsh 變換。