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三項式係數

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三項式係數是三項式三角形的係數。根據 Andrews (1990) 的符號，三項式係數 (n; k)_2，其中 n>=0 且 -n<=k<=n，由 x^(n+k) 在 (1+x+x^2)^n 的展開式中的係數給出。因此，

(n; -k)_2=(n; k)_2.
(1)

三項式係數可以用閉合形式給出

(n; k)_2={1 for n=k=0; C_(k+n)^((-n))(-1/2) otherwise,
(2)

其中 C_n^((lambda))(z) 是 Gegenbauer 多項式。

等價地，三項式係數由下式定義

(1+x+x^(-1))^n=sum_(k=-n)^n(n; k)_2x^k.
(3)

三項式係數也具有生成函式

f(w,z)=1/(1-z(1+w+w^2))
(4)
=1+z(1+w+w^2)+z^2(1+2w+3w^2+2w^3+w^4)+...,
(5)

即，

sum_(n=0)^inftysum_(k=-n)^n(n; -k)_2z^nw^(k+n)=1/(1-z(1+w+w^2)).
(6)

三項式三角形給出了三項式係數的三角形，

1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1
(7)

(OEIS A027907)。

三項式三角形的中心列給出了中心三項式係數。

三項式係數也由 n 個符號的排列數給出，每個符號為 -1、0 或 1，它們的和為 k。例如，有七個三個符號的排列，其和為 0，{-1,0,1}、{-1,1,0}、{0,-1,1}、{0,0,0} 和 {0,1,-1}、{1,-1,0}、{1,0,-1}，所以 (3; 0)_2=7。

三項式係數的另一種（但不同的）定義是 (x+y+z)^n (Andrews 1990) 中的係數，因此是 多項式係數，其中 k=3，給出

(n_1,n_2,n_3)!=((n_1+n_2+n_3)!)/(n_1!n_2!n_3!).
(8)

關於三項式係數的文獻相當稀少，儘管 Euler (在 1765 年) 撰寫了一篇 20 頁的論文來探討它們的性質 (Andrews 1990)。

下表給出了三項式三角形的前幾列。

kOEIS(n,k)-三項式係數
0A0024261, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, 8953, ...
1A0057171, 2, 6, 16, 45, 126, 357, 1016, 2907, 8350, ...
2A0145311, 3, 10, 30, 90, 266, 784, 2304, ...
3A0145321, 4, 15, 50, 161, 504, 1554, 4740, ...
4A0145331, 5, 21, 77, 266, 882, 2850, 9042, ...
5A0984701, 6, 28, 112, 414, 1452, 4917, ...

對角線 (n; n-k)_2 總結在下表中。

k(n; n-k)_2OEIS
01
1nA000027
21/2n(n+1)A000217
31/6(n-1)n(n+4)A005581
41/(24)(n-1)n(n^2+7n-6)A005712
51/(120)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+12)A000574
61/(720)(n-2)(n-1)n(n^3+18n^2+17n-120)A005714
71/(5040)(n-3)(n-2)(n-1)n(n^3+27n^2+116n-120)A005715
81/(40320)(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+10)(n^2+23n-84)A005716

三項式係數滿足一個類似於二項式係數的恆等式，即

(n; k)_2=(n-1; k-1)_2+(n-1; k)_2+(n-1; k+1)_2
(9)

(Andrews 1990)。

(n; k)_2 的顯式公式由下式給出

(n; k)_2=sum_(j=0)^(n)(n!)/(j!(j+k)!(n-2j-k)!)
(10)
(n; k)_2=sum_(j=0)^(n)(-1)^j(n; j)(2n-2j; n-k-j)
(11)

(Andrews 1990)，由此給出閉合形式

(n; k)_2=(n!)/((n-k)!)_2F^~_1(1/2(k-n),1/2(k-n+1);k+1;4)
(12)
=((2n)!)/((n-k)!(n+k)!)_2F^~_1(-k-n,k-n;1/2-n;1/4),
(13)

其中 _2F^~_1(a,b;c;z) 是正則化超幾何函式。

對於至少 n<2000 且 k<=n，(n; k)_2 為素數當且僅當 n=k+1 為素數（因為在這種情況下 (n; k)_2=n）或 (n,k)=(2,0)、(3, 0) 或 (4, 0)。目前尚不清楚此屬性是否對所有 n 都成立。然而，k=1 列由下式明確給出

(n; 1)_2=nM_(n-1),
(14)

其中 M_k 是Motzkin 數，因此只能在 n=2 時為素數。

在 1765 年，Euler 注意到中心三項式係數的漂亮的近似恆等式

3(n+1; 0)_2-(n+2; 0)_2=F_n(F_n+1),
(15)

其中 F_n 是斐波那契數，僅當 n<=7 時成立 (Andrews 1990)。對於 n=0, 1, ...，左側的前幾個值是 (OEIS A103872)，而右側的值是 0, 2, 2, 6, 12, 30, 72, 182, ... (OEIS A059727)。D. Knuth 將 Euler 著作中包含近似恆等式的幾頁內容傳送給了 R. K. Guy，後者將其包含在他關於小數定律的文章中 (Guy 1990)。與此同時，Guy 在 Bateman 退休會議上遇到了 G. Andrews 並向他展示了它。半小時後，Andrews 回來並帶來了 q 級數恆等式，Euler 的近似結果由此得出。 特別是，定義

E_n(a,b)=sum_(k=-infty)^infty[(n; 10k+a)_2-(n; 10k+b)_2]
(16)

給出了恆等式

E_n(1,2)=1/2F_n(F_n+1)
(17)
E_(n-1)(0,3)=1/2F_n(F_n+1)
(18)
E_(n+1)(0,1)=1/2F_n(F_n+1)
(19)
E_n(1,4)=F_(n+1)F_n
(20)
E_(n+1)(2,3)=F_(n+1)F_n
(21)
E_n(3,4)=1/2F_n(F_n-1)
(22)
E_(n-1)(2,5)=1/2F_n(F_n-1)
(23)
E_(n+1)(4,5)=1/2F_n(F_n-1)
(24)
E_n(1,3)=1/2(F_(2n)+F_n)
(25)
E_n(2,4)=1/2(F_(2n)-F_n)
(26)
E_n(1,5)=1/2(F_(2n+1)-F_(n-1))
(27)
E_n(0,4)=1/2(F_(2n+1)+F_(n-1))
(28)
E_n(0,2)=1/2(F_(2n-1)+F_(n+1))
(29)
E_n(3,5)=1/2(F_(2n-1)-F_(n+1))
(30)
E_n(0,5)=F_(2n-1)+F_nF_(n-1)
(31)

(Andrews 1990)。這隨後透過以下方式得出近似恆等式

3(n+1; 0)_2-(n+2; 0)_2=2(n+1; 0)_2-2(n+1; 1)_2
(32)
=2E_(n+1)(0,1) for n<=7
(33)
=F_n(F_n+1) for n<=7.
(34)

Andrews (1990) 還給出了漂亮的恆等式

sum_(k=-infty)^infty(n; 10k+a)_2={1/2F_n^2+1/2F_(n-1)^2+1/2F_(n-1)F_n+2/5F_(n-1)+1/5F_n+1/(10)3^n for a=0; 1/2F_(n-1)F_nF_n+1/2F_n^2-1/(10)F_(n-1)+1/5F_n+1/(10)3^n for a=1; 1/2F_(n-1)F_n-1/(10)F_(n-1)-3/(10)F_n+1/(10)3^n for a=2; -1/2F_(n-1)F_n-1/(10)F_(n-1)-3/(10)F_n+1/(10)3^n for a=3; -1/2F_(n-1)F_n-1/2F_n^2-1/(10)F_(n-1)+1/5F_n+1/(10)3^n for a=4; -1/2F_(n-1)^2-1/2F_(n-1)F_n-1/2F_n^2+2/5F_(n-1)+1/5F_n+1/(10)3^n for a=5.
(35)

另請參閱

二項式係數, 中心三項式係數, Motzkin 數, 多項式係數, 三項式, 三項式三角形

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參考文獻

Andrews, G. "Euler's 'exemplum memorabile inductionis fallacis' and q-Trinomial Coefficients." J. Amer. Math. Soc. 3, 653-669, 1990.Andrews, G. and Baxter, R. J. "Lattice Gas Generalization of the Hard Hexagon Model. III. q-Trinomial Coefficients." J. Stat. Phys. 47, 297-330, 1987.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 78, 1974.Hoggatt, V. E. Jr., and Bicknell, M. "Diagonal Sums of Generalized Pascal Triangles." Fib. Quart. 7, 341-358 and 393, 1969.Euler, L. "Exemplum Memorabile Inductionis Fallacis." Opera Omnia, Series Prima, Vol. 15. Leipzig, Germany: Teubner, 50-69, 1911.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 575, 1990.Guy, R. K. "The Second Strong Law of Small Numbers." Math. Mag. 63, 3-20, 1990.Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 1: Power Series-Integration-Conformal Mapping-Location of Zeros. New York: Wiley, p. 42, 1988.Riordan, J. Combinatorial Identities. New York: Wiley, p. 74, 1979.Shapiro, L. W.; Getu, S.; Woan, W.-J.; and Woodson, L. C. "The Riordan Group." Disc. Appl. Math. 34, 229-239, 1991.Sloane, N. J. A. Sequences A000027, A000217, A000574, A002426/M2673, A005581, A005712, A005714, A005715, A005716, A005717/M1612, A014531, A014532, A014533, A027907, A059727, A098470, and A103872 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Warnaar, S. O. "q-Trinomial Identities." 5 Oct. 1998. http://arxiv.org/abs/math/9810018.

在 中被引用

三項式係數

請引用為

Weisstein, Eric W. “三項式係數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TrinomialCoefficient.html

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