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莫茨金數

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MotzkinNumber

莫茨金數枚舉了各種組合物件。Donaghey 和 Shapiro (1977) 給出了這些數的 14 種不同表現形式。特別地，他們給出了從 (0, 0) 到 (n, 0) 且永不低於 y=0 並僅由步長 (1, 0), (1, 1) 和 (1, -1) 組成的路徑的數量，即 ->, -> 和 ->。

前幾個數是 1, 2, 4, 9, 21, 51, ... (OEIS A001006)。對於 n=0, 1, ...，M_(10^n) 的十進位制位數是 1, 4, 45, 473, 4766, 47705, 477113, ... (OEIS A114473)，其中位數接近 log_(10)3=0.4771212547... 的位數 (OEIS A114490)。

前幾個素數莫茨金數是 2, 127, 15511, 953467954114363, ... (OEIS A092832)，它們對應的索引是 2, 7, 12, 36, ... (OEIS A092831)，且對於 n<=263000 沒有其他素數莫茨金數 (Weisstein, 2005 年 3 月 29 日)。

莫茨金數生成函式 M(x) 滿足

M=1+xM+x^2M^2
(1)

並由下式給出

M(x)=(1-x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x^2)
(2)
=2/(1-x+sqrt(1-2x-3x^2))
(3)
=1+x+2x^2+4x^3+9x^4+21x^5+....
(4)

M(x) 因此，M(x) 由連分數給出

M(x)=1/(1-x-(x^2)/(1-x-(x^2)/(1-x-(x^2)/...)))
(5)

(M. Somos, 私人通訊, 2006 年 4 月 15 日)。

它們由遞推關係給出

M_n=(3(n-1)M_(n-2)+(2n+1)M_(n-1))/(n+2)
(6)

其中 M_0=M_1=1，以及巢狀遞推關係

M_n=M_(n-1)+sum_(k=0)^(n-2)M_kM_(n-2-k)
(7)

其中 M_0=1。

莫茨金數 M_n 也由下式給出

M_n=-1/2sum_(a=0)^(n+2)(-3)^k(1/2; a)(1/2; b)
(8)
=((-1)^(n+1))/(2^(2n+5))sum_(a=0)^(n+2)((-3)^a)/((2a-1)(2b-1))(2a; a)(2b; b)
(9)
=_2F_1(1/2(1-n),-1/2n;2;4)
(10)
=1/(n+1)(n+1; 1)_2
(11)
=-(sqrt(pi)_2F^~_1(-1/2,-n-2;-n-1/2;-3))/(4Gamma(n+3))
(12)
=(i^n3^(n/2))/2[3P_n(-1/3isqrt(3))+2isqrt(3)P_(n+1)(-1/3isqrt(3))+3P_(n+2)(-1/3isqrt(3))],
(13)

其中 b=n+2-a, (n; k) 是二項式係數, (n; k)_2 是三項式係數, _2F_1(a,b;c;z) 是超幾何函式, _2F^~_1(a,b;c;z) 是正則化超幾何函式, Gamma(z) 是伽瑪函式, 而 P_n(z) 是勒讓德多項式。

另請參閱

卡塔蘭數, 德蘭諾數, 整數序列素數, 施羅德數, 三項式係數

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參考文獻

Barcucci, E.; Pinzani, R.; and Sprugnoli, R. "The Motzkin Family." Pure Math. Appl. Ser. A 2, 249-279, 1991.Dickau, R. M. "Delannoy and Motzkin Numbers." http://www.prairienet.org/~pops/delannoy.html.Donaghey, R. "Restricted Plane Tree Representations of Four Motzkin-Catalan Equations." J. Combin. Th. Ser. B 22, 114-121, 1977.Donaghey, R. and Shapiro, L. W. "Motzkin Numbers." J. Combin. Th. Ser. A 23, 291-301, 1977.Kuznetsov, A.; Pak, I.; and Postnikov, A. "Trees Associated with the Motzkin Numbers." J. Combin. Th. Ser. A 76, 145-147, 1996.Motzkin, T. "Relations Between Hypersurface Cross Ratios, and a Combinatorial Formula for Partitions of a Polygon, for Permanent Preponderance, and for Nonassociative Products." Bull. Amer. Math. Soc. 54, 352-360, 1948.Sloane, N. J. A. Sequences A001006/M1184, A092831, A092832, A114473, and A114490 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

莫茨金數

請引用為

Weisstein, Eric W. "Motzkin Number." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MotzkinNumber.html

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