Smarandache 數

考慮透過連線前個正整數形成的連續數字序列：1, 12, 123, 1234, ... (OEIS A007908; Smarandache 1993, Dumitrescu and Seleacu 1994, 序列 1; Mudge 1995; Stephan 1998; Wolfram 2002, p. 913)。這個序列給出了 Champernowne 常數的數字，有時也被稱為 Barbier 無限詞 (Allouche and Shallit 2003, pp. 114, 299, 和 336)。直到的項由下式給出

			(1)
			(2)

這些有時被稱為 Smarandache 連續數，但在本文中，序列中的項將簡稱為 Smarandache 數。類似地，是素數的 Smarandache 數將被稱為 Smarandache 素數。令人驚訝的是，對於 (偉大的 Smarandache PRPrime 搜尋；2016 年 12 月 5 日)，不存在 Smarandache 素數。

的位數可以透過注意下表中的模式來計算，其中

(3)

是的位數。

	範圍	位數
1	1-9
2	10-99
3	100-999
4	1000-9999

透過歸納法，中的位數可以寫成

			(4)
			(5)

其中第二項是迴圈單位 repunit 。對於 , 2, ..., 的位數長度因此是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, ... (OEIS A058183)。

Plots of the concatenation of consecutive integers in base 2

前幾個整數的二進位制表示的連線結果是 1, 110, 11011, 11011100, 11011100101, ... (OEIS A058935)。上面繪製了到 90 的這些數字序列。將數字序列解釋為二進位制分數，結果是二進位制 Champernowne 常數。

有趣的是，取累積和 cumulative sum ，其中 ${x_i}$ 是的數字，得到一個顯示類似海蟾蜍結構的圖（左圖），並且對 ${x_i}_(i=2)^infty$ （右圖）執行相同的操作會得到類似於 Blancmange 函式（和 Hofstadter-Conway 10,000 美元序列）的結構。

參考文獻

Mudge, M. “班級頂尖。” 個人電腦世界，674-675，1995 年 6 月。

Mudge, M. “不是數字命理學而是數字學！” 個人電腦世界，279-280，1997 年。