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Masser-Gramain 常數

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設 f(z) 為一個整函式，使得 f(n) 對於每個正整數 n 都是一個整數。然後 Pólya (1915) 證明了如果

limsup_(r->infty)(lnM_r)/r<ln2=0.693...
(1)

(OEIS A002162), 其中

M_r=sup_(|z|<=r)|f(x)|
(2)

是上確界，那麼 f 是一個多項式。此外，ln2 是最佳常數（即，對於每個較小的值都存在反例）。

如果 f(z) 是一個整函式，且對於每個高斯整數 n，f(n) 是一個高斯整數，那麼 Gelfond (1929) 證明存在一個常數 alpha 使得

limsup_(r->infty)(lnM_r)/(r^2)<alpha
(3)

意味著 f 是一個多項式。Gramain (1981, 1982) 表明最佳的此類常數是

alpha=pi/(2e)=0.5778...
(4)

(OEIS A086056)。

Maser (1980) 證明了較弱的結果，即如果

limsup_(r->infty)(lnM_r)/(r^2)<alpha_0,
(5)

其中

alpha_0=1/2exp(-delta+(4c)/pi),
(6)

且

c=gammabeta(1)+beta^'(1)
(7)
=1/4pi{2gamma+2ln2+3lnpi-4ln[Gamma(1/4)]}
(8)
approx 0.64624543989481...
(9)

(OEIS A086057), gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數, beta(z) 是狄利克雷 beta 函式, Gamma(z) 是伽瑪函式,

delta=lim_(n->infty)(sum_(k=2)^n1/(pir_k^2)-lnn)
(10)

被稱為 Masser-Gramain 常數，且 r_k 是最小的非負 r，對於該值，存在一個複數 z，使得以 z 為中心，r 為半徑的閉圓盤 至少包含 k 個不同的高斯整數。

Gramain 和 Weber (1985, 1987) 已經獲得

1.811447299<delta<1.897327117,
(11)

這意味著

0.1707339<alpha_0<0.1860446.
(12)

Gramain (1981, 1982) 推測

alpha_0=1/(2e),
(13)

這將意味著

delta=1+(4c)/pi=1.822825249...
(14)

(OEIS A086058)。

使用 探索

參考文獻

Finch, S. R. "Masser-Gramain 常數。" §7.2 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 459-461, 2003.Gosper, R. W. "http://www.mathsoft.com/asolve/constant/constant.html。" math-fun@cs.arizona.edu posting, Sept. 27, 1996.Gel'fond, A. O. "關於 G. Pólya 定理。" Atti Accad. Naz. Lincei Rend. 10, 568-574, 1929.Gramain, F. "關於 Fukagawa-Gel'fond 定理。" Invent. Math. 63, 495-506, 1981.Gramain, F. "關於 Fukagawa-Gel'fond-Gruman-Masser 定理。" Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des Nombres), 1980-1981. Boston, MA: Birkhäuser, 1982.Gramain, F. and Weber, M. "與高斯整數環相關的計算和算術常數。" Math. Comput. 44, 241-245, 1985.Gramain, F. and Weber, M. "與高斯整數環相關的計算和算術常數。" Math. Comput. 48, 854, 1987.Havil, J. Gamma: 探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 116-117, 2003.Masser, D. W. "關於取整數值的整函式。" C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 291, A1-A4, 1980.Pólya, G. "關於取整數值的整函式。" Rend. Circ. Mat. Palermo 40, 1-16, 1915.Sloane, N. J. A. “整數序列線上百科全書”中的序列 A002162/M4074, A086056, A086057, 和 A086058。

在 中被引用

Masser-Gramain 常數

請引用為

Weisstein, Eric W. "Masser-Gramain 常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Masser-GramainConstant.html

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