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神奇幾何常數

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設 E 是 d 維歐幾里得空間的緊緻連通子集。Gross (1964) 和 Stadje (1981) 證明存在唯一的實數 a(E)，使得對於所有 x_1, x_2, ..., x_n in E，都存在 y in E 滿足

1/nsum_(j=1)^nsqrt(sum_(k=1)^d(x_(j,k)-y_k)^2)=a(E).
(1)

E 的神奇常數 m(E) 定義為

m(E)=(a(E))/(diam(E)),
(2)

其中

diam(E)=max_(u,v in E)sqrt(sum_(k=1)^d(u_k-v_k)^2).
(3)

這些數也稱為散佈數和匯合值。對於任何 E，Gross (1964) 和 Stadje (1981) 證明

1/2<=m(E)<1.
(4)

如果 I 是直線的子區間，D 是平面中的圓形盤，則

m(I)=m(D)=1/2.
(5)

如果 C 是圓，則

m(C)=2/pi=0.6366...
(6)

(OEIS A060294)。對於橢圓的神奇常數，用其半長軸和半短軸長度表示的表示式尚不清楚。Nikolas 和 Yost (1988) 表明，對於勒洛三角形 T

0.6675276<=m(T)<=0.6675284.
(7)

將 m(E) 在 n 維空間中的最大值記為 M(n)。則

M(1)1/2
M(2)m(T)<=M(2)<=(2+sqrt(3))/(3sqrt(3))<0.7182336
M(d)d/(d+1)<=M(d)<=([Gamma(1/2d)]^22^(d-2)sqrt(2d))/(Gamma(d-1/2)sqrt((d+1)pi))<sqrt(d/(d+1))

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式 (Nikolas 和 Yost 1988)。

一個與給定幻方特徵無關的量也稱為幻方常數。

另請參閱

幻方常數

使用 探索

參考文獻

Finch, S. R. "匯合常數。" §8.21 in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 537-542, 2003.Cleary, J.; Morris, S. A.; and Yost, D. "數值幾何——形狀的數字。" 美國數學月刊 95, 260-275, 1986.Croft, H. T.; Falconer, K. J.; and Guy, R. K. 幾何中的未解問題。 New York: Springer-Verlag, 1994.Gross, O. 度量空間的匯合值。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 49-53, 1964.Nikolas, P. and Yost, D. "歐幾里得空間子集的平均距離性質。" 數學存檔 (巴塞爾) 50, 380-384, 1988.Sloane, N. J. A. 序列 A060294 in "整數序列線上百科全書。"Stadje, W. "緊緻連通空間的性質。" 數學存檔 (巴塞爾) 36, 275-280, 1981.

在 中被引用

神奇幾何常數

請引用為

Weisstein, Eric W. "神奇幾何常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MagicGeometricConstants.html

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