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希爾伯特變換

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希爾伯特變換（及其逆變換）是積分變換

g(y)=H[f(x)]=1/piPVint_(-infty)^infty(f(x)dx)/(x-y)
(1)
f(x)=H^(-1)[g(y)]=-1/piPVint_(-infty)^infty(g(y)dy)/(y-x),
(2)

其中每個積分都取柯西主值。 希爾伯特變換是反常積分。

在下表中， Pi(x) 是矩形函式， sinc(x) 是sinc 函式， delta(x) 是delta 函式， AdjustmentBox[I, BoxMargins -> {{0.13913, -0.13913}, {-0.5, 0.5}}]I(x) 和 AdjustmentBox[I, BoxMargins -> {{0.101266, -0.101266}, {0.375, -0.375}}, BoxBaselineShift -> -0.375]AdjustmentBox[I, BoxMargins -> {{0, 0}, {-0.25, 0.25}}, BoxBaselineShift -> 0.25](x) 是衝激符號， 並且 _1F_1(a;b;x) 是第一類合流超幾何函式。

f(x)g(y)
sinxcosy
cosx-siny
(sinx)/x(cosy-1)/y
Pi(x)1/piln|(y-1/2)/(y+1/2)|
1/(1+x^2)-y/(1+y^2)
sinc^'(x)(1-cosy-ysiny)/(y^2)
delta(x)-1/(piy)
AdjustmentBox[I, BoxMargins -> {{0.13913, -0.13913}, {-0.5, 0.5}}]I(x)y/(pi(1/4-y^2))
AdjustmentBox[I, BoxMargins -> {{0.101266, -0.101266}, {0.375, -0.375}}, BoxBaselineShift -> -0.375]AdjustmentBox[I, BoxMargins -> {{0, 0}, {-0.25, 0.25}}, BoxBaselineShift -> 0.25](x)-1/(2pi(1/4-y^2))
e^(-x^2)-e^(-y^2)erfi(y)

另請參閱

阿貝爾變換, 傅立葉變換, 反常積分, 積分變換, Titchmarsh 定理, Wiener-Lee 變換

使用 探索

參考文獻

Bracewell, R. "The Hilbert Transform." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 267-272, 1999.Papoulis, A. "Hilbert Transforms." The Fourier Integral and Its Applications. New York: McGraw-Hill, pp. 198-201, 1962.

在 中被引用

希爾伯特變換

引用為

Weisstein, Eric W. "Hilbert Transform." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HilbertTransform.html

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