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阿貝爾變換

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以下積分變換關係，被稱為阿貝爾變換，存在於兩個函式 f(x) 和 g(t) 之間，對於 0<alpha<1,

f(x)=int_0^x(g(t)dt)/((x-t)^alpha)
(1)
g(t)=(sin(pialpha))/pid/(dt)int_0^t(f(x)dx)/((t-x)^(1-alpha))
(2)
=(sin(pialpha))/pi[int_0^t(df)/(dx)(dx)/((t-x)^(1-alpha))+(f(0))/(t^(1-alpha))].
(3)

阿貝爾變換用於計算星系的徑向質量分佈，以及反演行星無線電掩星資料以獲得作為高度函式的大氣資訊。

Bracewell (1999, p. 262) 定義了略有不同的阿貝爾變換形式，如下所示

g(x)=A[f(r)]=2int_x^infty(f(r)rdr)/(sqrt(r^2-x^2)).
(4)

下表給出了一些常見的阿貝爾變換對 (Bracewell 1999, p. 264)。 其中，

Pi_a(x)={1 for 0<x<a; 0 otherwise,
(5)

其中 Pi(x) 是矩形函式，以及

M(x)=2pi[x^(-3)int_0^xJ_0(x)dx-x^(-2)J_0(x)]
(6)
=(pi^2)/(x^2)[J_1(x)H_0(x)-J_0(x)H_1(x)],
(7)

其中 J_n(x) 是第一類貝塞爾函式，而 H_n(x) 是斯特魯夫函式。

f(r)g(x)條件
Pi_a(r)2sqrt(a^2-x^2)0<x<a
(a^2-r^2)^(-1/2)Pi_a(r)pi0<x<a
sqrt(a^2-r^2)Pi_a(r)1/2pi(a^2-x^2)0<x<a
(a^2-r^2)Pi_a(r)4/3(a^2-x^2)^(3/2)0<x<a
(a^2-r^2)^(3/2)Pi_a(r)3/8pi(a^2-x^2)^20<x<a
(a-r)Pi_a(r)asqrt(a^2-x^2)-x^2cosh^(-1)(a/x)
1/picosh^(-1)(a/r)a-x
delta(r-a)(2a)/(sqrt(a^2-x^2))Pi_a(x)
e^(-r^2/sigma^2)sigmasqrt(pi)e^(-x^2/sigma^2)sigma>0
r^2e^(-r^2/sigma^2)sigma(x^2+1/2sigma^2)sqrt(pi)e^(-x^2/sigma^2)sigma>0
(e^(-r^2/sigma^2))/(sigmasqrt(pi))(r^2-1/2sigma^2)x^2e^(-x^2/sigma^2)sigma>0
1/(b^2+r^2)pi/(sqrt(b^2+x^2))b^2+x^2>0
J_0(omegar)(2cos(omegax))/omegaomega>0
M(r)(8pi^4)/(omega^3x^2)sin^2((xomega)/(2pi))omega>0

另請參閱

傅立葉變換, 希爾伯特變換, 積分方程

使用 探索

參考文獻

Abel, N. H. Oeuvres Completes (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., pp. 11 and 97, 1988.Arfken, G. and Weber, H. J. Mathematical Methods for Physicists, 6th ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 1014, 2005.Binney, J. and Tremaine, S. Galactic Dynamics. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 651, 1987.Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 262-266, 1999.Hilfer, R. (Ed.). Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore: World Scientific, pp. 3-4, 2000.Liouville, J. "Memoire sur quelques quéstions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre pour réspondre ces quéstions." J. École Polytech. 13, 1-69, 1832.Lützen, J. Joseph Liouville, 1809-1882. Master of Pure and Applied Mathematics. New York: Springer-Verlag, p. 314, 1990.Whittaker, E. T. and Robinson, G. The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 376-377, 1967.

在 中引用

阿貝爾變換

請引用為

Weisstein, Eric W. "阿貝爾變換。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AbelTransform.html

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