亥姆霍茲微分方程 -- 球面

在球體表面上，嘗試在球座標中進行分離變數，寫作

然後亥姆霍茲微分方程變為

等式兩邊同除以 ,

現在可以透過寫作來分離

該方程的解必須是週期性的，因此 必須是整數。然後，解可以定義為複數函式

對於 , ..., ，或者作為實數正弦和餘弦函式的和

對於 , ..., 。將 (4) 代入 (3) 得到

這是 的勒讓德微分方程，其中

給出

因此，解是具有複數指標的勒讓德多項式。則通用的複數解是

通用的實數解是

請注意，這些解僅取決於單個變數 。但是，在球體表面上，通常用為三維球體情況推匯出的球諧函式來表示解，這取決於兩個變數 和 。