切博塔列夫密度定理 -- 來自

切博塔列夫密度定理是代數數論中一個複雜的定理，它給出了數域的素理想的漸近公式，這些素理想在的代數擴張中以某種方式分裂。當基域是有理數域時，該定理變得簡單得多。

設是一個首一的不可約多項式，其次數為，且具有整數係數，根為，設，設為的正規閉包，並設為的一個劃分，即一組正整數的有序集合，其中。如果一個素數不除以的判別式，則稱該素數是（在數域上）非分歧的。設表示非分歧素數的集合。考慮非分歧素數的集合，對於這些素數，模分解為，其中模是不可約的，且次數為。同樣定義中素數的密度如下

$delta(S_P)=lim_(N->infty)(#{p in S_P:p<=N})/(#{p in S:p<=N}).$

現在考慮數域的伽羅瓦群。由於這是對稱群的一個子群，的每個元素都可以表示為個字母的排列，而排列又可以唯一地表示為不相交輪換的乘積。現在考慮的元素集合，由長度為 , , ..., 的不相交輪換組成。那麼。

作為一個例子，設，所以且，其中是本原單位根。由於的判別式為，因此唯一的分歧素數是 2 和 3。

設為一個非分歧素數。那麼有一個根（模）當且僅當 2 有一個立方根（模），這發生在 (mod 3) 或 (mod 3) 且 2 的乘法階模整除時。第一種情況發生在所有非分歧素數的一半中，第二種情況發生在所有素數的六分之一中。在第一種情況下，2 有一個唯一的立方根模，所以分解為一個線性因子和一個不可約二次因子模的乘積。在第二種情況下，2 有三個不同的立方根模，所以有三個線性因子模。在剩餘的情況下，這種情況發生在所有非分歧素數的三分之一中，模是不可約的。現在考慮的對應元素。第一種情況對應於 2-輪換和 1-輪換（恆等元）的乘積，其中有三個，或元素的一半，第二種情況對應於三個 1-輪換的乘積，或恆等元，其中只有一個元素，或元素的六分之一，剩餘的情況對應於 3-輪換，其中有兩個，或元素的三分之一。由於在這種情況下，切博塔列夫密度定理對於這個例子成立。