伯特蘭悖論

在半徑為 半徑 的 圓 上隨機繪製一條 弦 的 機率 是多少？（即，圓上直線選取）弦的長度 （或有時大於或等於內接等邊三角形的邊長；Solomon 1978，第 2 頁）？答案取決於對“隨機繪製兩個點”的解釋，或更具體地說，取決於問題的“自然”度量。

在最常考慮的度量中，圓 的 圓周 上的 角 和 是隨機選取的。不失一般性，這可以表述為：從正 x 軸 沿單位圓測量的隨機角 的單個點的弦長的機率。由於長度作為 的函式（圓上直線選取）由下式給出

(1)

求解 得到 ，因此弦長大於 1 的上半單位圓的比例為

(2)

然而，如果將一個點隨機放置在 圓 的 半徑 上，並繪製一條與之 垂直 的 弦，則

(3)

後一種解釋更令人滿意，因為對於旋轉的 圓、內接 於第一個圓的略小的 圓，或者對於尺寸相同但中心略微偏移的 圓，結果保持不變。Jaynes (1983) 表明，將“隨機”解釋為 半徑 上連續 均勻分佈 是唯一具有所有這三種不變性的解釋。