Atlas

圖冊是在流形上的一組相容的座標圖的集合，其中“相容”最常見的含義是指圖的轉移函式是光滑的。顧名思義，圖冊對應於地圖的集合，每張地圖顯示流形的一部分，看起來像平坦的歐幾里得空間。要使用圖冊，需要知道地圖如何重疊。 為了有用，地圖在這些重疊區域上不能相差太大。

從一個圖到另一個圖的重疊對映稱為轉移函式。它們表示從一個圖的視角到另一個圖的視角的過渡。令 中的開單位球表示為 。那麼，如果 和 是兩個座標圖，則複合 是定義在 上的函式。也就是說，它是從 的開子集到 的函式，並且給定這樣一個從 到 的函式，存在使其光滑或具有 個光滑導數（即，它是 C-k 函式）的條件。此外，當 同構於 （在偶數維情況下）時，函式可以是全純的。

光滑圖冊的轉移函式是 C-無窮光滑的（即，無限可微的）。結果是，一個圖上的光滑函式在任何其他圖上也是光滑的（根據高階導數的鏈式法則）。類似地，可以有一個 類的圖冊，其中轉移函式屬於 C-k 類。

在偶數維情況下，人們可能會問轉移函式是否是全純的。在這種情況下，就有一個全純圖冊，並且根據鏈式法則，詢問流形上的函式是否是全純的才有意義。

兩個圖冊可能是相容的，這意味著它們的並集也是一個圖冊。根據佐恩引理，總是存在一個極大圖冊，其中極大圖冊是不包含在任何其他圖冊中的圖冊。然而，在典型的應用中，沒有必要使用極大圖冊，任何足夠精細的圖冊都可以。