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阿諾德貓對映

最著名的 Anosov 微分同胚 示例。它由以下變換給出

[x_(n+1); y_(n+1)]=[1 1; 1 2][x_n; y_n],
(1)

其中 x_(n+1) 和 y_(n+1) 以 1 為模計算。阿諾德貓對映是非哈密頓的、非解析的且是混合的。但是，由於行列式為 1，因此它是保面積的。李雅普諾夫特徵指數由下式給出

|1-sigma 1; 1 2-sigma|=sigma^2-3sigma+1=0,
(2)

所以

sigma_+/-=1/2(3+/-sqrt(5)).
(3)

特徵向量透過將 sigma_+/- 代入矩陣方程求得

[1-sigma_+/- 1; 1 2-sigma_+/-][x; y]=[0; 0].
(4)

對於 sigma_+，解是

y=1/2(1+sqrt(5))x=phix,
(5)

其中 phi 是黃金比例，因此不穩定的（歸一化）特徵向量是

xi_+=1/(10)sqrt(50-10sqrt(5))[1; 1/2(1+sqrt(5))].
(6)

類似地，對於 sigma_-，解是

y=-1/2(sqrt(5)-1)x=-phi^(-1)x,
(7)

因此穩定的（歸一化）特徵向量是

xi_-=1/(10)sqrt(50+10sqrt(5))[1; 1/2(1-sqrt(5))].
(8)

另請參閱

Anosov 對映

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. “阿諾德貓對映。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ArnoldsCatMap.html

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