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Alcuin 序列

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整數序列 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21, 19, ... (OEIS A005044) 由以下 係數 的 麥克勞林級數 給出

1/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))=1+x^2+x^3+2x^4+x^5+....
(1)
AlcuinsSequence

上面展示了該序列前幾項的二進位制圖。

閉合形式包括

a_n=1/(288){107+54n+6n^2+(-1)^n[81+18n+64cos(1/3pin)]+36[cos(1/2pin)-sin(1/2pin)]}
(2)
=1/(288){107+54n+6n^2+(-1)^n[81+18n+64cos(1/3pin)]
(3)
+36(-1)^(|_(n+1)/2_|),
(4)

其中 |_x_| 是向下取整函式。

具有整數邊和周長為 n 的不同三角形的數量由下式給出

T(n)=P_3(n)-sum_(1<=j<=|_n/2_|)P_2(j)
(5)
=[(n^2)/(12)]-|_n/4_||_(n+2)/4_|
(6)
={[(n^2)/(48)] for n even; [((n+3)^2)/(48)] for n odd,
(7)

其中 P_2(n) 和 P_3(n) 是分拆函式，其中 P_k(n) 表示將 n 寫成 k 項之和的方式數，[x] 是最近整數函式，而 |_x_| 是向下取整函式 (Jordan et al. 1979, Andrews 1979, Honsberger 1985)。 奇怪的是，對於 T(n)，當 n=3, 4, ... 時，恰好是 Alcuin 序列。

另請參閱

整數三角形, 分拆函式 P, 三角形剖分

使用 探索

參考文獻

Andrews, G. "A Note on Partitions and Triangles with Integer Sides." Amer. Math. Monthly 86, 477, 1979.Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 39-47, 1985.Jordan, J. H.; Walch, R.; and Wisner, R. J. "Triangles with Integer Sides." Amer. Math. Monthly 86, 686-689, 1979.Sloane, N. J. A. Sequence A005044/M0146 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

Alcuin 序列

請引用為

Weisstein, Eric W. "Alcuin's Sequence." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/AlcuinsSequence.html

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