“15 拼圖”是一種滑動方塊謎題，通常（但不正確地）歸因於薩姆·勞埃德。然而，Slocum 和 Sonneveld (2006) 的研究表明，薩姆·勞埃德並沒有發明 15 拼圖，也與推廣或普及它無關。由 15 拼圖引起的謎題熱潮始於 1880 年 1 月在美國，4 月在歐洲，並於 1880 年 7 月結束。勞埃德在 1891 年首次聲稱他發明了這個謎題，並在他去世前持續了 20 年的運動，以虛假地為這個謎題邀功。實際的發明者是紐約州卡納斯托塔的郵政局長諾伊斯·查普曼，他於 1880 年 3 月申請了專利。
15 拼圖由 15 個編號從 1 到 15 的方塊組成，這些方塊放置在一個 
盒子中，留下 16 個位置中的一個空位。目標是透過一次滑動一個方塊到上面顯示的配置，從給定的任意起始排列重新定位這些方塊。對於某些初始排列，這種重新排列是可能的，但對於另一些則不可能。
為了解決給定初始排列的可解性，請按如下步驟操作。如果包含數字 
的方塊在（從左到右、從上到下讀取盒子中的方塊）小於 
的數字“之前”出現，則稱其為階為 
的倒置，並將其表示為 
。然後定義
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其中，總和只需要從 2 執行到 15，而不是從 1 執行到 15，因為沒有小於 1 的數字（因此 
必須等於 0）。更簡單地說， 
是數字列表中的排列倒置數。另定義 
為空方塊的行號。
那麼，如果 
為偶數，則該位置是可能的，否則是不可能的。換句話說，如果列表的排列符號 
為 
，則該位置是可能的，而如果符號為 
，則是不可能的。這可以使用交錯群來正式證明。例如，在上面顯示的排列中， 
（2 在 1 之前）並且所有其他 
，因此 
並且這個謎題無法解決。
類似地，在上面方塊的隨機排列中，倒置計數分別為 12、9、9、5、4、4、3、3、0、3、3、2、1、1 和 0，倒置總和為 59。由於這個數字是奇數，因此上面謎題的排列無法解決。
雖然謎題的奇數排列無法解決（Johnson 1879），但所有偶數排列都是可解的（Story 1879）。儘管赫斯坦和卡普蘭斯基 (1978) 斷言“似乎沒有真正簡單的證明是已知的”，但阿切爾 (1999) 提出了一個簡單的證明。威爾遜 (1974) 的一個更一般的結果表明，對於任何 連通圖 上的 
節點，除了環圖 
和 theta0 圖之外，透過滑動標籤可以獲得正好一半或全部 
可能的標籤，這取決於圖是否是二分圖（Archer 1999）。 
有六個不等價的標籤，而 
有 
個不等價的標籤。
可以證明，在 
棋盤上製作的“8 拼圖”的反轉順序至少需要 26 步，儘管最佳解決方案需要 30 步（Gardner 1984，第 200 頁和 206-207 頁）。28、30、32、... 步中不同解的數量分別為 0、10、112、512、... (OEIS A046164)，給出了 634 個比 Dudeney (1949) 給出的 36 步解決方案更好的解。
對於 
, 2, ...，解決 15 拼圖的 
推廣所需的最大步數分別為 0、6、31、80、... (OEIS A087725; Brüngger 等人 1999)。
-15 拼圖擴充套件的最短解是難解的。" J. Symbolic Comp 10, 111-137, 1990.Sloane, N. J. A. 序列