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百美元挑戰賽獲勝者公佈

作者：Eric W. Weisstein

2002年5月25日——《SIAM News》雜誌2002年1/2月刊刊登了一項有趣的讀者挑戰。其中，數值分析師 Nick Trefethen 提出了 10 個計算問題，每個問題都只有一個實數作為答案。作者為在 2002 年 5 月 20 日前計算出最多正確位數的人或團隊提供了 100 美元的獎勵。評分標準為每正確一位數得 1 分，每個問題最多 10 分。

百美元、百位數挑戰問題的主題範圍從數值積分到全域性最小化，再到隨機遊走的解法。

比賽的獲勝者今天在 Trefethen 的網站上公佈。來自 25 個國家的 94 支隊伍參加了比賽。其中，20 支隊伍獲得了滿分 100 分，5 支隊伍獲得了 99 分。Trefethen 將隨機抽取三支滿分隊伍，並向他們頒發每隊 100 美元的獎金。

獲得滿分的隊伍之一是由 Mathematica 開發人員和合作者組成的。“Mathematica 團隊”的成員包括西澳大利亞大學的 Paul Abbott 和 , Inc. 的 Brett Champion、Yifan Hu、Daniel Lichtblau 和 Michael Trott，他們使用 Mathematica 完全解決了所有問題。Mathematica 的以下功能在解決這 10 個問題中至關重要並被反覆使用：快速機器算術、任意精度有效位數算術、區間算術、稠密和稀疏線性代數、符號積分、序列變換和外推，以及高精度特殊函式求值。

事實上，對於大多數 10 個問題，使用 Mathematica 的任意精度算術可以輕鬆計算出任意位數的數字。

下表給出了所有 10 個問題的描述和數值答案。

#	答案	問題
1	0.3233674316	是什麼 $\lim_{\epsilon\to 0} \int_\epsilon^1 x^{-1}\cos(x^{-1}\ln x)\,dx$ ?
2	0.9952629194	一個光子在 - 平面內以速度 1 運動，在時刻從出發，方向正東。在平面內的每個整數格點周圍，都豎立著半徑為的圓形鏡子。光子在時刻距離原點有多遠？
3	1.274224152	無限矩陣 $\mathsf{A}$ ，其元素為 $a_{11} = 1$ , $a_{12} = 1/2$ , $a_{21} = 1/3$ , $a_{13} = 1/4$ , $a_{22} = 1/5$ , $a_{31} = 1/6$ 等等，是 $\ell^2$ 上的有界運算元。是什麼 $\Vert\mathsf{A}\Vert$ ?
4	-3.306868647	函式的全域性最小值是什麼
5	0.2143352345	設 $f(z)=1/\Gamma(z)$ ，其中 $\Gamma(z)$ 是伽瑪函式，設是在單位圓盤上以上確界範數最佳逼近的三次多項式 $\Vert\cdot\Vert _\infty$ 。是什麼 $\Vert f-p\Vert _\infty$ ?
6	0.06191395447	一隻跳蚤從無限 2D 整數格點上的出發，執行有偏隨機遊走：每一步它以 1/4 的機率向北或向南跳躍，以 $1/4 + \epsilon$ 的機率向東跳躍，並以 $1/4 - \epsilon$ 的機率向西跳躍。跳蚤在其遊蕩過程中返回的機率為 1/2。 $\epsilon$ 是多少？
7	0.7250783462	設 $\mathsf{A}$ 為 $20{,}000\times 20{,}000$ 矩陣，其元素除主對角線上的素數 2, 3, 5, 7, ..., 224737 以及所有位置 $a_{ij}$ 中 $\vert i-j\vert = 1$ , 2, 4, 8, ..., 16384 的數字 1 外，其餘均為零。 (1, 1) 項是什麼 $\mathsf{A}^{-1}$ ?
8	0.4240113870	一個正方形板 $[-1, 1]\times [-1, 1]$ 的溫度為。在時間時，其中一條邊的溫度升高到，而其他三條邊保持在 u = 0，然後熱量根據以下公式流入板中 $u_t = \Delta u$ 。板中心何時達到溫度？
9	0.7859336743	積分 $I(\alpha)=\int_0^2 [2 + \sin(10\alpha)]x^\alpha \sin(\alpha/(2- x))\,dx$ 取決於引數 $\alpha$ 。值為多少 $\alpha\in[0, 5]$ 時， $I(\alpha)$ 達到最大值？
10	0.3837587979 x 10^-6	一個位於 $10\times 1$ 矩形中心的粒子進行布朗運動（即，步長無限小的2D 隨機遊走），直到它到達邊界。它擊中端點而不是側面的機率是多少？