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貝利和克蘭德爾發現新型正規數

作者：Eric W. Weisstein

2001 年 10 月 4 日（修訂於 2003 年 3 月 17 日）——正規數被定義為一個實數，其數字是真正隨機的——意味著在基數-b 中，每個數字、每對數字以及更高階的數字組合，都以極限均勻分佈的頻率出現。例如，為了使一個數在十進位制下是正規的，數字 0-9 中的每一個都應出現 1/10 的時間，數字 00-99 中的每一個都應出現 1/100 的時間，依此類推。證明數字的正規性極其困難，並且在今天宣佈的這項新研究之前，所有已知的具有此屬性的數字都是人為構造的。例如，確定著名的常數 π 和 e 在任何基數中是否為正規數，至今仍是一個未解決的問題。

在 D. H. 貝利和 R. E. 克蘭德爾發表在《實驗數學》期刊上的工作中，他們基於先前對隨機數字的混沌動力學建模，證明了某些通用數值常數類別的數字具有均勻分佈。特別是，雖然 自然對數 2 的 b-正規性

Log[2] == Sum[1/(n 2^n), {n, Infinity}]

對於任何 b 仍然未知，但貝利和克蘭德爾推廣了斯通漢姆（Stoneham，1973）之前的研究結果，表明對於任何互質的正整數 b 和 c

alpha[b, c] == Sum[1/(c^k b^(c^k)), {k, Infinity}]

是 b-正規的。新結果還確立了以下形式的常數的 b-正規性

Sum[1/(b^m[[i]] c^n[[i]]), {i, Infinity}]

對於某些整數序列 (m_i) 和 (n_i)。

貝利和克蘭德爾還證明了許多相關結果，包括確定 噴嘴演算法，用於計算alpha[2, 3]，從而確定了第 googol 個二進位制位是 0。