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維格納半圓定律

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設 V 為一個大型 實 對稱矩陣，階數為 N，具有隨機元素 v_(ij)，對於 i<=j，這些元素獨立分佈且具有相等的密度，相等的二階矩 m^2，以及第 n 階矩以常數 B_n 為界，常數 B_n 獨立於 i、j 和 N。此外，設 S=S_(alpha,beta)(v,N) 為 V 的 特徵值 數量，這些特徵值位於區間 (alphaN^(1/2),betaN^(1/2)) 內，對於實數 alpha<beta。那麼

lim_(N->infty)(E(S))/N=1/(2pim^2)int_alpha^betasqrt(4m^2-x^2)dx

(維格納 1955, 1958)。維格納 (1955) 在量子力學研究中出現的某些特殊型別的隨機矩陣中首次觀察到該定律。

SemicircleLaw

上面說明了從標準正態分佈中選擇條目的對稱隨機矩陣的特徵值分佈，以一個隨機的 5000×5000 矩陣為例。

請注意，從均勻分佈中提取隨機條目的大型實對稱矩陣也服從半圓定律，但例外的是，它也擁有恰好一個大的特徵值。

另請參閱

特徵值, 吉爾科圓定律, 隨機矩陣

使用 探索

參考文獻

Alon, N.; Krivelevich, M.; and Vu, V. H. "On the Concentration of Eigenvalues of Random Symmetric Matrices." Israel J. Math. 131, 259-267, 2002.Arnold, L. "On Wigner's Semicircle Law for the Eigenvalues of Random Matrices." Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 19, 191-198, 1971.Bai, Z. D. and Yin, Y. Q. "Convergence to the Semicircle Law." Ann. Probab. 16, 863-875, 1988.Götze, F. and Tikhomirov, A. "Rate of Convergence to the Semi-Circular Law." Probab. Theory Related Fields 127, 228-276, 2003.Kiessling, M. K.-H. and Spohn, H. "A Note on the Eigenvalue Density of Random Matrices." Comm. Math. Phys. 199, 683-695, 1999.Ryan, Ø. "On the Limit Distributions of Random Matrices with Independent or Free Entries." Comm. Math. Phys. 193, 595-626, 1998.Voiculescu, D. "Limit Laws for Random Matrices and Free Products." Invent. Math. 104, 201-220, 1991.Wigner, E. "Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions." Ann. of Math. 62, 548-564, 1955.Wigner, E. "On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices." Ann. of Math. 67, 325-328, 1958.

在 中被引用

維格納半圓定律

請引用為

Weisstein, Eric W. "維格納半圓定律。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/WignersSemicircleLaw.html

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