通用代數

通用代數研究所有代數結構的共同性質，包括 群、環、域、格 等。

通用代數是一個 對 ，其中 和 是集合，並且對於每個 ， 是在 上的運算。如果代數 的每個運算都是有限元的，則稱其為有限元代數。

度數為 的函式符號（或運算）的集合稱為特徵標（或型別）。令 為一個特徵標。代數 由一個域 （稱為載體或全集）和一個對映定義，該對映將一個函式 關聯到來自 的每個 位函式符號。

設 和 是兩個在相同特徵標 上的代數，它們的載體分別是 和 。一個對映 被稱為從 到 的同態，如果對於每個 和所有 ,

如果一個 同態 是 滿射，則它被稱為 滿同態。如果 是一個 滿同態，則 被稱為 的同態像。如果同態 是一個 雙射，則它被稱為 同構。在所有代數的類上，定義一個關係 ，使得 當且僅當存在從 到 的同構。那麼關係 是一個 等價關係。它的等價類被稱為同構類，並且通常是真類。

從 到 的 同態 通常表示為 。一個 同態 被稱為 自同態。一個 同構 被稱為 自同構。同態、同構、自同態等概念是 群、環 和其他代數理論中相應概念的推廣。

特徵標 上代數 中的恆等式（或等式）具有以下形式

其中 和 是使用來自 的函式符號從變數構建的項。

如果對於恆等式中變數的所有可能值（即，對於將變數替換為載體元素的所有可能方式）都成立，則稱恆等式 在代數 中成立。然後稱代數 滿足恆等式 。