Stampacchia 定理

“Stampacchia 定理” 是泛函分析中與許多相關結果相關的名稱。儘管定理的具體內容通常因參考文獻而異，但 Stampacchia 提出的一個常見結果是針對任意 Hilbert 空間 上的連續、強制雙線性形式的一種“表示不等式”。這個特定版本的結果因多種原因而備受關注，最值得注意的是它暗示了所謂的 Lax-Milgram 定理。

為了陳述上述定理版本，令 為 Hilbert 空間，令 為 上的連續且強制雙線性形式，令 為 的閉凸子集。Stampacchia 的一個結果表明，在這些假設下，對於任何 中的函式 ，必然存在唯一的 中的函式 ，使得不等式

(1)

對所有 中的函式 都成立，其中 表示 上的 內積。請注意，此結果的形式特別好，因為透過檢查 中的任意元素 並選擇 中的元素 ，使得上述不等式對所有 中的 成立， 的凸性意味著

(2)

對所有 中的 都成立，並且由於 和內積都是雙線性的，因此將上述不等式對 重述必然會得到

(3)

將後兩個不等式結合起來，並考慮 的情況，就可以得到 Lax-Milgram 定理，該定理指出，在上述假設下，對於任何 中的元素 ，必然存在唯一的 中的元素 滿足

(4)

對所有 中的 都成立。

然而，如上所述，歸因於 Stampacchia 的結果內容可能有所不同。定理的另一種常見形式指出，如果函式 位於有界域 的 Sobolev 空間 中，並且如果 是滿足 的實值 Lipschitz 函式，那麼只要 且函式 滿足廣義導數恆等式，則 複合函式 也位於 中

(5)

幾乎處處在 中。在上面， 定義為 中具有零 跡 的函式的集合，即

(6)

其中 是 上所有具有 緊支撐 的 光滑函式 的集合。