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羅傑斯 L-函式

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RogersLFunction

如果 Li_2(x) 表示通常的 雙對數函式，那麼有兩種變體被稍微不同的歸一化，都稱為羅傑斯 L-函式（Rogers 1907）。Bytsko (1999) 定義

L(x)=6/(pi^2)[Li_2(x)+1/2lnxln(1-x)]
(1)
=6/(pi^2)[sum_(n=1)^(infty)(x^n)/(n^2)+1/2lnxln(1-x)],
(2)

（他稱之為“the” 雙對數函式），而 Gordon 和 McIntosh (1997) 以及 Loxton (1991, p. 287) 將羅傑斯 L-函式定義為

L_R(x)=Li_2(x)+1/2lnxln(1-x)
(3)
=(pi^2)/6L(x)
(4)
=[sum_(n=1)^(infty)(x^n)/(n^2)+1/2lnxln(1-x)].
(5)

函式 L(x) 滿足簡潔的 反射關係

L(x)+L(1-x)=1
(6)

（Euler 1768），以及 阿貝爾函式方程

L(x)+L(y)=L(xy)+L((x(1-y))/(1-xy))+L((y(1-x))/(1-xy))
(7)

（Abel 1988, Bytsko 1999）。 阿貝爾倍乘公式 對於 L(x) 從 阿貝爾函式方程 得出，並由下式給出

1/2L(x^2)=L(x)-L(x/(1+x)).
(8)

該函式具有漂亮的 級數

sum_(k=2)^inftyL(1/(k^2))=1
(9)

（Lewin 1982；Loxton 1991，p. 298）。

用 L(x) 表示，眾所周知的雙對數函式恆等式變為

L(0)=0
(10)
L(1-rho)=2/5
(11)
L(1/2)=1/2
(12)
L(rho)=3/5
(13)
L(1)=1
(14)

（Loxton 1991，pp. 287 和 289；Bytsko 1999），其中 rho=(sqrt(5)-1)/2。

Khoi (2014) 給出了恆等式

L_R(1/(phi(sqrt(phi)+phi)))-L_R(phi/(sqrt(phi)+phi))=-(pi^2)/(20),
(15)

其中 phi 是 黃金比例 (Khoi 2014, Campbell 2021)。

數字 theta in (0,1) 滿足

sum_(k=0)^nc_kL(theta^k)=0
(16)

對於某些 n 值，被稱為 L-代數數。Loxton (1991，p. 289) 給出了一系列具有有理係數的恆等式

sum_(k=0)^n(e_k)/kL(theta^k)=c
(17)

而不是整數，其中 c 是一個 有理數，其修正和擴充套件版本總結在下表中。在該表中，多項式 P(x) 表示 x 的實根。可以使用 整數關係 演算法找到更多類似的恆等式。

thetae_kc
111
1/211/2
1/2-1,6,3,0,0,-31/2
1/33,-11
1/2(sqrt(5)-1)13/5
1/2(sqrt(5)-1)1,-1,-12,0,0,6-3/5
(sqrt(5)-2)^(1/3)2,-11
sqrt(2)-12,-13/4
sqrt(2)-11,2,0,-15/8
3-2sqrt(2)5,-21
1/2(sqrt(3)-1)2,1,-15/6
sqrt(3)-12,-3,-1,0,0,11/2
2-sqrt(3)4,1,0,-15/4
2-sqrt(3)5,-3,-1,0,0,14/3
5-2sqrt(6)23,-15,-3,0,0,33
1/2(sqrt(13)-3)4,-2,-2,0,0,17/6
1/6(sqrt(13)-1)3,1,-3,0,0,14/3
1/6(sqrt(13)+1)3,-4,-3,0,0,22/3
4-sqrt(15)15,2,-3,-25/2
1/2(5-sqrt(21))7,-1,-3,0,0,15/3
1/2sec(2/7pi),1,-21/7
1/2sec(1/7pi)1,15/7
2cos(3/7pi)1,14/7
1/2sec(1/9pi)1,2,-17/9
1/2sec(2/9pi)1,-3,-1,0,0,1-1/9
2cos(4/9pi)1,-3,-1,0,0,11/9
x^3+2x-11,5,0,-41
x^3+2x-13,1,12,0,0,-62
2x^3+x-12,1,3,-23/2
x^3+x-12,6,3,0,0,-33
x^3-3x^2+4x-15,-9,-6,0,0,61
x^3+x^2-11,6,6,0,0,-62
x^3+x^2+x-11,1,-31/2
x^3+x^2+x-12,3,0,-23/2

Bytsko (1999) 給出了額外的恆等式

L(lambda^(-2))+L((lambda^2-1)^(-2))=4/7
(18)
L(lambda^(-2))+L((1+lambda)^(-1))=5/7
(19)
L(1-1/(sqrt(2)))+L(sqrt(2)-1)=3/4
(20)
L(sqrt(rho))+L(1/(1+sqrt(rho)))=(13)/(11)
(21)
L(1/2-1/2rho)+L(2rho-1)=1/2
(22)
L(1-1/2rho-1/2sqrt(7rho-3))+L(1/2sqrt(28rho+45)-2rho-5/2)=2/5
(23)
L(1-delta^2)+L((1+delta)^(-2))=2/5
(24)
L(3/2-1/2sqrt(2)-1/2sqrt(2sqrt(2)-1))+L((3/2+sqrt(2))sqrt(2sqrt(2)-1)-3/2-3/2sqrt(2))=1/2
(25)
L(nu)-L(mu^(-1))=1/7
(26)

其中

lambda=2cos(pi/7)
(27)
rho=(sqrt(5)-1)/2
(28)
delta=1/2(sqrt(3+2sqrt(5))-1),
(29)

其中 delta 是

delta^4+delta^3-delta-1=0
(30)

的正根，0<nu<1 和 mu>1 是

t^6-7t^5+19t^4-28t^3+20t^2-7t+1=0.
(31)

的實根。這裡，(◇) 和 (◇) 是 沃森恆等式 的特殊情況，而 (◇) 是 阿貝爾倍乘公式 的特殊情況，其中 x=1/sqrt(2) (Gordon 和 McIntosh 1997, Bytsko 1999)。

Rogers (1907) 獲得了 m 變數中的雙對數函式恆等式，其中有 m^2+1 項，當 m=1 時簡化為尤拉恆等式，當 m=2 時簡化為 阿貝爾函式方程 (Gordon 和 McIntosh 1997)。對於 m=3，它等價於

L(a)+L(b)+L(c)-L(u)-L(v) =L(abc)+L(ac/u)+L(bc/v)-L(av/u)-L(bu/v),
(32)

其中

av(1-bc)+bu(1-ac)=uv(1-ab)
(33)
v(1-a)+u(1-b)=1-abc
(34)

(Gordon 和 McIntosh 1997)。

另請參閱

阿貝爾倍乘公式, 阿貝爾函式方程, 雙對數函式, 反正切積分, L-代數數, Landen 恆等式, Spence 函式, Spence 積分, 沃森恆等式

使用 探索

參考文獻

Abel, N. H. Oeuvres Completes, Vol. 2 (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., pp. 189-192, 1988.Bytsko, A. G. "Fermionic Representations for Characters of M(3,t), M(4,5), M(5,6) and M(6,7) Minimal Models and Related Dilogarithm and Rogers-Ramanujan-Type Identities." J. Phys. A: Math. Gen. 32, 8045-8058, 1999.Bytsko, A. G. "Two-Term Dilogarithm Identities Related to Conformal Field Theory." 9 Nov 1999. http://arxiv.org/abs/math-ph/9911012.Campbell, J. M. "Some Nontrivial Two-Term Dilogarithm Identities." Irish Math. Soc. Bull., No. 88, 31-37, 2021.Euler, L. Institutiones calculi integralis, Vol. 1. Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 110-113, 1768.Gordon, B. and McIntosh, R. J. "Algebraic Dilogarithm Identities." Ramanujan J. 1, 431-448, 1997.Khoi, V. T. "Seifert Volumes and Dilogarithm Identities." J. Knot Th. Ram. 23, 1450025, 11, 2014.Lewin, L. "The Dilogarithm in Algebraic Fields." J. Austral. Math. Soc. (Ser. A) 33, 302-330, 1982.Lewin, L. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991.Loxton, J. H. "Partition Identities and the Dilogarithm." Ch. 13 in Structural Properties of Polylogarithms (Ed. L. Lewin). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 287-299, 1991.Rogers, L. J. "On Function Sum Theorems Connected with the Series sum_1^(infty)x^n/n^2." Proc. London Math. Soc. 4, 169-189, 1907.Watson, G. N. "A Note on Spence's Logarithmic Transcendent." Quart. J. Math. Oxford Ser. 8, 39-42, 1937.

在 中被引用

羅傑斯 L-函式

引用為

Weisstein, Eric W. "羅傑斯 L-函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/RogersL-Function.html

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