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反三角正切積分

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InverseTangentIntegral
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反三角正切積分 Ti_2(x) 根據 雙對數 Li_2(x) 的定義為

Li_2(ix)=1/4Li_2(-x^2)+iTi_2(x)
(1)

(Lewin 1958, 第 33 頁)。它具有級數

Ti_2(x)=sum_(k=1)^infty(-1)^(k-1)(x^(2k-1))/((2k-1)^2)
(2)

並以閉合形式給出和

sum_(n=1)^infty(sin[(4n-2)x])/((2n-1)^2)=Ti_2(tanx)-xln(tanx)
(3)

這是拉馬努金 (Ramanujan) 考慮過的 (Lewin 1958, 第 39 頁)。反三角正切積分可以用 雙對數 表示為

Ti_2(x)=1/(2i)[Li_2(ix)-Li_2(-ix)],
(4)

用 勒讓德χ函式 表示為

Ti_2(x)=-ichi_2(ix),
(5)

用 萊克超越函式 表示為

Ti_2(x)=1/4xPhi(-x^2,2,1/2),
(6)

並作為積分

Ti_2(x)=int_0^x(tan^(-1)(x^'))/(x^')dx^'.
(7)

Ti_2(x) 的導數為

(dTi_2(x))/(dx)=(tan^(-1)x)/x.
(8)

它滿足以下恆等式

Ti_2(x)-Ti_2(1/x)=1/2pisgn(x)ln|x| 1/2Ti_2((2x)/(1-x^2))=Ti_2(x)+Ti_2(-x,1)-Ti_2(x,1),
(9)

其中

Ti_2(x,a)=int_0^x(tan^(-1)x^')/(a+x^')dx^'
(10)

是廣義反三角正切函式。

Ti_2(x) 具有特殊值

Ti_2(1)=K,
(11)

其中 K 是 卡塔蘭常數，以及函式關係

3Ti_2(1)-2Ti_2(1/2)-Ti_2(1/3)-1/2Ti_2(3/4)=1/2piln2,
(12)

兩個等價的恆等式

3Ti_2(2-sqrt(3))=2Ti_2(1)-1/4piln(2-sqrt(3))
(13)
Ti_2(tan(1/(12)pi))=2/3Ti_2(tan(1/4pi))+1/(12)piln(tan(1/(12)pi)),
(14)

和

3Ti_2(2+sqrt(3))=2Ti_2(1)+5/4piln(2+sqrt(3))
(15)

(Lewin 1958, 第 39 頁)。三倍角公式由下式給出

1/3Ti_2((3x-x^3)/(1-3x^2))=Ti_2(x)+Ti_2((1-xsqrt(3))/(sqrt(3)+x)) -Ti_2((1+xsqrt(3))/(sqrt(3)-x))+1/6piln[((sqrt(3)+x)(1+xsqrt(3)))/((1-xsqrt(3))(sqrt(3)-x))],
(16)

這導致

Ti_2(tan(1/(24)pi))-Ti_2(tan(5/(24)pi))+2/3Ti_2(tan(1/8pi)) +1/6piln[(tan(5/(24)pi))/(tan(1/8pi))]=0
(17)

以及代數形式

Ti_2((sqrt(3)-sqrt(2))/(sqrt(2)+1))-Ti_2((sqrt(3)-sqrt(2))/(sqrt(2)-1))+2/3Ti_2(sqrt(2)-1) =1/6piln[(sqrt(2)-1)/((sqrt(3)-sqrt(2))(sqrt(2)+1))]
(18)

(Lewin 1958, 第 41 頁)。

另請參閱

雙對數， L-代數數， 勒讓德χ函式， 萊克超越函式， 羅傑斯 L 函式

使用 探索

參考文獻

Finch, S. R. “反三角正切積分。” 數學常數 第 1.7.6 節。英國劍橋：劍橋大學出版社，第 57 頁，2003 年。Lewin, L. “反三角正切積分” 和 “廣義反三角正切積分。” 雙對數函式和相關函式 第 2-3 章。倫敦：麥克唐納，第 33-90 頁，1958 年。Lewin, L. 多重對數函式和相關函式。荷蘭阿姆斯特丹：北荷蘭，第 45 頁，1981 年。Nielsen, N. “尤拉雙對數及其推廣。” Nova Acta Leopoldina, Abh.der Kaiserlich Leopoldinisch-Carolinischen Deutschen Akad. der Naturforsch. 90, 121-212, 1909 年。

在 中引用

反三角正切積分

請引用為

Weisstein, Eric W. “反三角正切積分。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseTangentIntegral.html

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