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多面體質心

由 N 個三角形面組成的多面體的幾何質心可以使用旋度定理計算，公式如下：

x^_=1/(48)sum_(i=1)^(n)n_i·x^^([(a_i+b_i)·x^^]^2+[(b_i+c_i)·x^^]^2+[(c_i+a_i)·x^^]^2)
(1)
y^_=1/(48)sum_(i=1)^(n)n_i·y^^([(a_i+b_i)·y^^]^2+[(b_i+c_i)·y^^]^2+[(c_i+a_i)·y^^]^2)
(2)
z^_=1/(48)sum_(i=1)^(n)n_i·z^^([(a_i+b_i)·z^^]^2+[(b_i+c_i)·z^^]^2+[(c_i+a_i)·z^^]^2),
(3)

其中法向量 n_i 由叉積給出

n_i=(b_i-a_i)x(c_i-a_i).
(4)

此公式可應用於具有任意麵的多面體，因為具有三個以上頂點的面可以被三角化。此外，該公式適用於凹多面體以及凸多面體。

質心也可以使用散度定理計算，方法是對函式 F=(x^2/2,0,0)、G=(xy,0,0) 和 H=(xz,0,0) 進行積分，這些函式在各處都具有散度 del ·F=x、del ·G=y 和 del ·H=z，積分割槽域為多面體的三角面。

另請參閱

幾何質心, 多面體, 多面體體積,

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參考文獻

Dobrovolskis, A. R. "任意多面體的慣性。" Icarus 124, 698-704, 1996.Lawlor, O. "邊界積分與轉動慣量矩陣。" CS 482 Lecture. https://www.cs.uaf.edu/2015/spring/cs482/lecture/02_20_boundary.html.Mirtich, B. "多面體質量屬性的快速準確計算。" J. Graphics Tools 1, No. 2, 31-50, Feb. 1996.Nürnberg, R. "計算二維多邊形的面積和質心。" 2013. https://www.ma.imperial.ac.uk/~rn/centroid.pdf.

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "多面體質心。" 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/PolyhedronCentroid.html

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