排列對合

集合 的對合是 的一個 排列，它不包含任何長度 的置換環（即，它完全由不動點和對換組成）。對合與自共軛排列（即，是其自身逆排列的排列）存在一一對應關係。例如，在 1 個元素上的唯一排列對合是 ，在 2 個元素上的兩個對合排列是 和 ，以及在 3 個元素上的四個對合排列是 , , , 和 。可以使用以下方法測試排列 以確定它是否是對合：InvolutionQ[p] 在 Wolfram 語言 包中Combinatorica` .

對合的置換矩陣是對稱的。在 個元素上的對合數與在 個元素上的不同楊氏表的數量相同（Skiena 1990, p. 32）。

一般來說，在 個字母上的對合排列的數量由以下公式給出

(1)

其中 是一個二項式係數 (Muir 1960, p. 5)，或者可替換地由

(2)

(Skiena 1990, p. 32)。雖然在 個符號上的對合數不能表示為固定數量的超幾何項（Petkovšek et al. 1996, p. 160），但它可以根據第二類合流超幾何函式 寫成

(3)

將其分解為 偶數和奇數給出

(4)

包含前 個整數的集合的對合數 由遞推關係給出

(5)

(Muir 1960, pp. 3-7; Skiena 1990, p. 32)。對於 , 2, ..., 的前幾個值是 1, 2, 4, 10, 26, 76, ... (OEIS A000085)。