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九分之一常數

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設 lambda_(m,n) 為 切比雪夫常數。 Schönhage (1973) 證明了

lim_(n->infty)(lambda_(0,n))^(1/n)=1/3.
(1)

有人猜想數字

Lambda=lim_(n->infty)(lambda_(n,n))^(1/n)=1/9.
(2)

數字 Lambda 因此被稱為“九分之一常數”或 Halphen 常數（Finch 2003，p. 261），其倒數 V=1/Lambda 有時被稱為 Varga 常數。 1981 年，N. Trefethen (Trefethen 和 Gutknecht 1983) 透過計算 Varga 常數 駁斥了 Lambda=1/9 的猜想，結果為

V approx 9.28903
(3)

(OEIS A073007)。 在 1981 年 5 月 23 日做出這一發現後，Trefethen（當時是斯坦福大學的研究生）非常激動，以至於他給在蘇黎世的合著者 M. Gutknecht 發了一份電報，內容很簡單：“9.28903？” Carpenter等人。(1984) 隨後透過計算證實了這一結果

Lambda=0.1076539192...
(4)

(OEIS A072558) 數值。

Gonchar 和 Rakhmanov 表明極限存在，並在 1986 年正式反駁了 1/9 猜想，Gonchar 在加利福尼亞州伯克利舉行的國際數學家大會上介紹了這一結果。 Magnus (1986, 1988) 隨後表明 Lambda 正好由下式給出

Lambda=exp[-(piK(sqrt(1-c^2)))/(K(c))],
(5)

其中 K 是第一類完全橢圓積分，並且

c=0.9089085575485414...
(6)

(OEIS A086199) 是引數，它解決了

K(k)=2E(k),
(7)

並且 E 是第二類完全橢圓積分。

Lambda 也由以下方程的唯一 正 根 給出

f(z)=1/8,
(8)

其中

f(z)=sum_(j=1)^inftya_jz^j
(9)

和

a_j=|sum_(d|j)(-1)^dd|
(10)

(Gonchar 和 Rakhmanov 1987)。 a_j 也可以透過將 j 寫成

j=2^mp_1^(m_1)p_2^(m_2)...p_k^(m_k),
(11)

其中 m>=0 且 m_i>=1，然後

a_j=|2^(m+1)-3|(p_1^(m_1+1)-1)/(p_1-1)(p_2^(m_2+1)-1)/(p_2-1)...(p_k^(m_k+1)-1)/(p_k-1)
(12)

(Gonchar 和 Rakhmanov 1987)。

對於 f(z) 的生成函式由下式給出

f(q)=-sum_(n=1)^(infty)((-q)^n)/([1+(-q)^n]^2)
(13)
=sum_(n=1)^(infty)(nq^n)/(1-(-q)^n)
(14)
=1/8[1-(2/pi)^2[2E(k)-K(k)]K(k)],
(15)

其中 K(k) 和 E(k) 分別是第一類和第二類完全橢圓積分，並且橢圓模量 k 以 nome q 表示 (M. Somos，私人通訊，2006 年 7 月 27 日)。

Magnus (1988) 給出了 Lambda 的另一個方程。Lambda 是 x in (0,1) 中

sum_(k=0)^infty(2k+1)^2(-x)^(k(k+1)/2)=0,
(16)

方程的唯一解，Halphen 在 1886 年研究過該方程並計算了其根。 因此有人建議（Varga 1990）將該常數稱為 Halphen 常數。

另請參閱

切比雪夫常數, Varga 常數

使用 探索

參考文獻

Carpenter, A. J.; Ruttan, A.; 和 Varga, R. S. "關於有理逼近理論中 '1/9' 猜想的擴充套件數值計算。" 在 有理逼近和插值 (坦帕, 佛羅里達州, 1983) (編輯 P. R. Graves-Morris, E. B. Saff, 和 R. S. Varga)。 紐約: Springer-Verlag, pp. 383-411, 1984.Cody, W. J.; Meinardus, G.; 和 Varga, R. S. "對 e^(-x) 在 [0,+infty) 中的切比雪夫有理逼近以及在熱傳導問題中的應用。" J. Approx. Th. 2, 50-65, 1969.Dunham, C. B. 和 Taylor, G. D. "最佳倒數多項式逼近在 [0,infty) 上的連續性。" J. Approx. Th. 30, 71-79, 1980.Finch, S. R. "‘九分之一’常數。" §4.5 在 數學常數。 英國劍橋: 劍橋大學出版社, pp. 259-262, 2003.Gonchar, A. A. "解析函式的有理逼近。" Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 147, 25-34, 1990.Gonchar, A. A. 和 Rakhmanov, E. A. "解析函式的平衡分佈和有理逼近程度。" Math. USSR Sbornik 62, 305-348, 1980.Gonchar, A. A. 和 Rakhmanov, E. A. "解析函式的平衡分佈和有理逼近率。" Mat. Sbornik 34, 306-352, 1987. 重印於 Math. USSR Sbornik 62, 305-348, 1989.Magnus, A. P. "Varga 常數 '1/9' 的 CFGT 確定。" Inst. Preprint B-1348. 比利時: Inst. Math. U.C.L., 1986.Magnus, A. P. "關於使用 Carathéodory-Fejér 方法研究 '1/9' 和類似常數。" 在 非線性數值方法和有理逼近 (Wilrijk, 1987)。 荷蘭多德雷赫特: Reidel, pp. 105-132, 1988.Rahman, Q. I. 和 Schmeisser, G. "指數函式的有理逼近。" 在 Padé 和有理逼近，（國際研討會論文集，南佛羅里達大學，坦帕，佛羅里達州，1976 年） (編輯 E. B. Saff 和 R. S. Varga)。 紐約: Academic Press, pp. 189-194, 1977.Schönhage, A. "關於 e^(-x) 在 [0,infty) 上的有理逼近性。" J. Approx. Th. 7, 395-398, 1973.Sloane, N. J. A. 序列 A072558, A073007, 和 A086199 在 "整數序列線上百科全書" 中。Trefethen, L. N. 和 Gutknecht, M. H. "實有理逼近的 Caratheodory-Fejer 方法。" SINUM 20, 420-436, 1983.Varga, R. S. 數學問題和猜想的科學計算。 賓夕法尼亞州費城: SIAM, 1990.

在 中被引用

九分之一常數

引用為

Weisstein, Eric W. "九分之一常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/One-NinthConstant.html

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