馬爾可夫數

馬爾可夫數 是方程 的解 馬爾可夫方程 的並集

(1)

並與 拉格朗日數 相關，關係式為

(2)

前幾個解是 , (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), .... 所有解都可以從前兩個解生成，因為該方程在每個變數中都是二次方程，因此一個整數解會導致第二個解，並且事實證明，所有解（前兩個奇異解除外）都具有不同的 、 和 值，並與另外三個解共享其三個值中的兩個（Guy 1994, p. 166）。馬爾可夫數然後由 1, 2, 5, 13, 29, 34, ... 給出 (OEIS A002559)。

對於其中一項為 5 的三元組 ，馬爾可夫數為 1, 2, 13, 29, 194, 433, ... (OEIS A030452)，其項由 遞推關係 給出

(3)

其中 , , , 和 。

這些解可以排列成一棵無限樹，每根樹幹上有兩個較小的分支。目前尚不清楚兩個不同的區域是否可以具有相同的標籤。奇怪的是，與 1 相鄰的區域具有交替的 斐波那契數 1, 2, 5, 13, 34, ...，而與 2 相鄰的區域具有交替的 佩爾數 1, 5, 29, 169, 985, ....

設 為 三元組 的數量，其中 ，則

(4)

其中 (Guy 1994, p. 166)。