哥德爾第一不完備性定理指出，所有包含皮亞諾算術的相容數論公理化形式體系，都包含不可判定的命題 (Hofstadter 1989)。這否定地回答了希爾伯特問題，該問題詢問數學是否是“完備的”（即數論語言中的每個陳述都可以被證明或證偽）。
包含皮亞諾算術是必要的，因為例如普萊斯伯格算術是數論的一種相容的公理化形式體系，但它是可判定的。
然而，哥德爾第一不完備性定理也適用於羅賓遜算術（儘管羅賓遜的結果出現得較晚，並且由羅賓遜證明）。
格爾哈德·根岑表明，如果使用超限歸納法，則可以證明算術的相容性和完備性。然而，這種方法不允許證明所有數學的相容性。
另請參閱
相容性,
哥德爾完備性定理,
哥德爾第二不完備性定理,
Goodstein定理,
希爾伯特問題,
Kreisel猜想,
自然獨立現象,
數論,
Paris-Harrington定理,
Richardson定理,
超限歸納法,
不可判定性
使用 探索
參考文獻
Barrow, J. D. Pi in the Sky: Counting, Thinking, and Being. Oxford, England: Clarendon Press, p. 121, 1993.Erickson, G. W. and Fossa, J. A. Dictionary of Paradox. Lanham, MD: University Press of America, pp. 74-75, 1998.Franzén, T. "Gödel on the Net." http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel.html.Gödel, K. "Über Formal Unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme, I." Monatshefte für Math. u. Physik 38, 173-198, 1931.Gödel, K. On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems. New York: Dover, 1992.Hofstadter, D. R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Vintage Books, p. 17, 1989.Kolata, G. "Does Gödel's Theorem Matter to Mathematics?" Science 218, 779-780, 1982.Rucker, R. Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1995.Smullyan, R. M. Gödel's Incompleteness Theorems. New York: Oxford University Press, 1992.Whitehead, A. N. and Russell, B. Principia Mathematica. New York: Cambridge University Press, 1927.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 782, 2002.
請引用為
Weisstein, Eric W. “哥德爾第一不完備性定理。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GoedelsFirstIncompletenessTheorem.html
主題分類
