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丟番圖方程——四次冪

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作為馬蒂亞謝維奇（Matiyasevich）對希爾伯特第十問題（Hilbert's 10th problem）的反駁的推論，可以證明不存在求解一般四次丟番圖方程的通用演算法。然而，構造這樣一個不可解的四次丟番圖方程的演算法可能需要任意多的變數 (Matiyasevich 1993)。

作為華林問題（Waring's problem）研究的一部分，已知每個正整數都是不超過 19 個正四次冪之和 (g(4)=19)，每個“足夠大的”整數都是不超過 16 個正四次冪之和 (G(4)=16)，並且每個整數都是至多 10 個有符號四次冪之和 (eg(4)<=10；儘管尚不清楚 10 是否可以減少到 9)。前幾個數字 n 是四個四次冪（m-1 方程）之和，它們是 353, 651, 2487, 2501, 2829, ... (OEIS A003294)。

4.1.2 方程

x^4=y^4+z^4
(1)

是費馬最後定理（Fermat's last theorem）中 n=4 的情況，因此無解。事實上，方程

x^4+/-y^4=z^2
(2)

在整數（integers）中也無解 (Nagell 1951, pp. 227 and 229)。方程

x^4-y^4=2z^2
(3)

在整數中無解 (Nagell 1951, p. 230)。唯一形式為（of the form）

4x^4+y^4
(4)

的素數（prime）是 5 (Baudran 1885, Le Lionnais 1983)。

令符號 p.m.n 表示由 m 個 p 次冪之和等於 n 個 p 次冪之和組成的方程。1772 年，尤拉提出 4.1.3 方程

A^4+B^4+C^4=D^4
(5)

在整數（integers）中無解 (Lander et al. 1967)。這個斷言被稱為尤拉四次猜想（Euler quartic conjecture）。Ward (1948) 表明，對於 D<=10000 無解，Lander et al. (1967) 隨後將其改進為 D<=220000。然而，尤拉四次猜想（Euler quartic conjecture）在 1987 年被 N. Elkies 推翻，他使用幾何構造發現

2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4
(6)

並表明存在無限多個解 (Guy 1994, p. 140)。1988 年，Roger Frye 發現

95800^4+217519^4+414560^4=422481^4
(7)

並證明在更小的整數（integers）中沒有解 (Guy 1994, p. 140)。Allan MacLeod 在 1997 年發現了另一個解，

638523249^4=630662624^4+275156240^4+219076465^4
(8)

(Ekl 1998)。目前尚不清楚是否存在引數解。相比之下，方程

A^4+B^4+C^4=2D^4
(9)

有許多解（見下文）。

4.1.4 方程

A^4+B^4+C^4+D^4=E^4
(10)

有解

30^4+120^4+272^4+315^4=353^4
(11)
240^4+340^4+430^4+599^4=651^4
(12)
435^4+710^4+1384^4+2420^4=2487^4
(13)
1130^4+1190^4+1432^4+2365^4=2501^4
(14)
850^4+1010^4+1546^4+2745^4=2829^4
(15)
2270^4+2345^4+2460^4+3152^4=3723^4
(16)
350^4+1652^4+3230^4+3395^4=3973^4
(17)
205^4+1060^4+2650^4+4094^4=4267^4
(18)
1394^4+1750^4+3545^4+3670^4=4333^4
(19)
699^4+700^4+2840^4+4250^4=4449^4
(20)
380^4+1660^4+1880^4+4907^4=4949^4
(21)
1000^4+1120^4+3233^4+5080^4=5281^4
(22)
410^4+1412^4+3910^4+5055^4=5463^4
(23)
955^4+1770^4+2634^4+5400^4=5491^4
(24)
30^4+1680^4+3043^4+5400^4=5543^4
(25)
1354^4+1810^4+4355^4+5150^4=5729^4
(26)
542^4+2770^4+4280^4+5695^4=6167^4
(27)
50^4+885^4+5000^4+5984^4=6609^4
(28)
1490^4+3468^4+4790^4+6185^4=6801^4
(29)
1390^4+2850^4+5365^4+6368^4=7101^4
(30)
160^4+1345^4+2790^4+7166^4=7209^4
(31)
800^4+3052^4+5440^4+6635^4=7339^4
(32)
2230^4+3196^4+5620^4+6995^4=7703^4
(33)
4450^4+5500^4+5670^4+7123^4=8373^4
(34)
4730^4+4806^4+5230^4+7565^4=8433^4
(35)
524^4+4910^4+5925^4+7630^4=8493^4
(36)
1642^4+3440^4+6100^4+7815^4=8517^4
(37)
1050^4+2905^4+5236^4+8230^4=8577^4
(38)
3450^4+3695^4+5780^4+8012^4=8637^4
(39)
816^4+3285^4+6180^4+8570^4=9137^4
(40)
680^4+2870^4+6435^4+8618^4=9243^4
(41)
5192^4+5800^4+6935^4+7820^4=9431^4
(42)
1394^4+1490^4+6935^4+8760^4=9519^4
(43)
305^4+5264^4+7050^4+8570^4=9639^4
(44)
2922^4+5490^4+6800^4+8835^4=9797^4
(45)
4840^4+5660^4+6485^4+8864^4=9877^4
(46)
1620^4+2294^4+8635^4+8870^4=10419^4
(47)
5300^4+5936^4+8530^4+9145^4=10939^4
(48)
3556^4+5300^4+8635^4+10490^4=11681^4
(49)
1476^4+4490^4+6200^4+11455^4=11757^4
(50)
1180^4+8170^4+8735^4+10144^4=12019^4
(51)
2833^4+3710^4+7270^4+11720^4=12167^4
(52)
7480^4+8655^4+8862^4+9360^4=12259^4
(53)
3450^4+4410^4+8925^4+11234^4=12287^4
(54)
320^4+7352^4+8045^4+11390^4=12439^4
(55)
1616^4+5780^4+6190^4+12435^4=12759^4
(56)
2935^4+6870^4+10310^4+10678^4=12771^4
(57)
2870^4+5934^4+5950^4+12845^4=13137^4
(58)
7025^4+7590^4+9712^4+11210^4=13209^4
(59)
1700^4+4975^4+7896^4+13040^4=13521^4
(60)
3440^4+3610^4+10738^4+12035^4=13637^4
(61)
1275^4+6420^4+8278^4+13410^4=14029^4
(62)
3929^4+6660^4+7920^4+13740^4=14297^4
(63)
34^4+210^4+2630^4+14405^4=14409^4
(64)
1530^4+8010^4+9498^4+13355^4=14489^4
(65)
1920^4+2040^4+9219^4+13900^4=14531^4
(66)
800^4+4682^4+10245^4+13760^4=14751^4
(67)
2512^4+4250^4+8940^4+14815^4=15309^4
(68)
3890^4+6800^4+11110^4+14579^4=15829^4
(69)
2880^4+5640^4+11815^4+14598^4=16027^4
(70)
4140^4+4790^4+7701^4+15780^4=16049^4
(71)
137^4+5430^4+6670^4+15940^4=16113^4
(72)
1088^4+2275^4+13110^4+14320^4=16359^4
(73)
1220^4+8830^4+12107^4+14890^4=16643^4
(74)
412^4+10850^4+11015^4+15160^4=16891^4
(75)
1845^4+2350^4+11810^4+15776^4=16893^4
(76)
6690^4+11050^4+11658^4+15375^4=17381^4
(77)
1220^4+8495^4+13060^4+15644^4=17519^4
(78)
950^4+6500^4+11896^4+16405^4=17521^4
(79)
1802^4+5450^4+12850^4+16215^4=17661^4
(80)
3220^4+3235^4+10660^4+17068^4=17693^4
(81)
1945^4+7256^4+9860^4+17320^4=17881^4
(82)
2760^4+8340^4+9423^4+17510^4=18077^4
(83)
5270^4+5898^4+13660^4+16805^4=18477^4
(84)
11410^4+12430^4+12668^4+15365^4=18701^4
(85)
610^4+8355^4+15906^4+16560^4=19483^4
(86)
4460^4+9305^4+13940^4+17726^4=19493^4
(87)
5370^4+12772^4+13440^4+17595^4=19871^4
(88)
780^4+3090^4+12702^4+19255^4=20111^4
(89)
1090^4+8975^4+11980^4+19244^4=20131^4
(90)
1880^4+9579^4+10030^4+19670^4=20253^4
(91)
1660^4+7550^4+12969^4+19480^4=20469^4
(92)
11801^4+12140^4+13690^4+18100^4=20699^4
(93)
8720^4+8855^4+13970^4+19142^4=20719^4
(94)
3362^4+12070^4+16525^4+17740^4=21013^4
(95)
5420^4+5950^4+13915^4+24802^4=25427^4
(96)
8545^4+12860^4+16260^4+34178^4=34803^4
(97)
1840^4+30690^4+41000^4+89929^4=91179^4
(98)

(Norrie 1911, Patterson 1942, Leech 1958, Brudno 1964, Lander et al. 1967, Rose and Brudno 1973; A. Stinchcombe, 私人通訊, 2004 年 10 月 25 日)。Wroblewski 給出了更多解。

在 Jacobi 和 Madden (2008) 找到特殊情況的無限數量的解之前，尚不清楚是否存在引數解 (Guy 1994, p. 139)

A^4+B^4+C^4+D^4=(A+B+C+D)^4.
(99)

他們的解廣泛使用了橢圓曲線（elliptic curve）理論和 Brudno (1964) 給出的特殊解 (955, 1770, 2634, 5400; 5491)，該解滿足 955+1700-2364+5400=5491。

4.1.5 方程有無限多個解

A^4=B^4+C^4+D^4+E^4+F^4.
(100)

其中一些最小的解是

2^4+2^4+3^4+4^4+4^4=5^4
(101)
4^4+6^4+8^4+9^4+14^4=15^4
(102)
4^4+21^4+22^4+26^4+28^4=35^4
(103)
1^4+2^4+12^4+24^4+44^4=45^4
(104)
1^4+8^4+12^4+32^4+64^4=65^4
(105)
2^4+39^4+44^4+46^4+52^4=65^4
(106)
22^4+52^4+57^4+74^4+76^4=95^4
(107)
22^4+28^4+63^4+72^4+94^4=105^4
(108)

(Berndt 1994)。Berndt 和 Bhargava (1993) 以及 Berndt (1994, pp. 94-96) 給出了拉馬努金（Ramanujan）對於任意 s、t、m 和 n 的解，

(8s^2+40st-24t^2)^4+(6s^2-44st-18t^2)^4+(14s^2-4st-42t^2)^4+(9s^2+27t^2)^4+(4s^2+12t^2)^4 =(15s^2+45t^2)^4,
(109)

和

(4m^2-12n^2)^4+(3m^2+9n^2)^4+(2m^2-12mn-6n^2)^4 +(4m^2+12n^2)^4+(2m^2+12mn-6n^2)^4=(5m^2+15n^2)^4.
(110)

Dickson (2005, p. 649) 也給出了這些解，Beiler (1966, p. 290) 給出了兩個通用公式（formulas）。Fauquembergue (1898)、Haldeman (1904) 和 Martin (1910) 給出了其他解。使用恆等式，可以找到拉馬努金給出的類似二次形式引數化

[ax^2+2(b+c)xy-3ay^2]^k+[bx^2-2(a+c)xy-3by^2]^k+[cx^2-2(a-b)xy-3cy^2]^k=(a^k+b^k+c^k)(x^2+3y^2)^k,
(111)

其中 c=a+b，對於 k=2 或 4，但這只是更通用恆等式的一個特例 (Piezas 2005)。然後，情況簡化為找到 a^4+b^4+(a+b)^4=z 的解，其中 z 是若干個四次冪的和與差。例如，給定

4^4+15^4+50^4+50^4+100^4=103^4,
(112)

那麼

(4x^2+12y^2)^4+(15x^2+45y^2)^4+(50x^2+300xy-150y^2)^4+(50x^2-300xy-150y^2)^4+(100x^2-300y^2)^4 =(103x^2+309y^2)^4.
(113)

類似地，給定恆等式和方程

2^4+4^4+6^4+6^4+6^4+7^4=9^4,
(114)

那麼 4.1.6 方程有無限多個本原解。

4.2.2 方程的引數解

A^4+B^4=C^4+D^4
(115)

是已知的 (Euler 1802; Gérardin 1917; Guy 1994, pp. 140-141)，但尚不清楚是否存在“通用”解 (Hardy 1999, p. 21)。前幾個本原解是

59^4+158^4=133^4+134^4=635318657
(116)
7^4+239^4=157^4+227^4=3262811042
(117)
193^4+292^4=256^4+257^4=8657437697
(118)
298^4+497^4=271^4+502^4=68899596497
(119)
514^4+359^4=103^4+542^4=86409838577
(120)
222^4+631^4=503^4+558^4=160961094577
(121)
76^4+1203^4=653^4+1176^4=2094447251857
(122)
997^4+1342^4=878^4+1381^4=4231525221377
(123)

(OEIS A003824; Richmond 1920; Dickson 1957, pp. 60-62; Leech 1957; Berndt 1994, p. 107; Ekl 1998 [有錯別字]; Dickson 2005, pp. 644-647)，其中最小的解是尤拉給出的 (Hardy 1999, p. 21)。Lander et al. (1967) 給出了 25 個本原 4.2.2 解的列表。通用（但不完整）解由下式給出

x^4+y^4=u^4+v^4,
(124)

其中

x=a+b
(125)
y=c-d
(126)
u=a-b
(127)
v=c+d,
(128)

和

a=n(m^2+n^2)(-m^4+18m^2n^2-n^4)
(129)
b=2m(m^6+10m^4n^2+m^2n^4+4n^6)
(130)
c=2n(4m^6+m^4n^2+10m^2n^4+n^6)
(131)
d=m(m^2+n^2)(-m^4+18m^2n^2-n^4)
(132)

(Hardy and Wright 1979)。

4.2.3 方程的引數解

A^4+B^4=C^4+D^4+E^4
(133)

是已知的 (Gérardin 1910, Ferrari 1913)。最小的解是

3^4+5^4+8^4=7^4+7^4
(134)

(Lander et al. 1967)。

拉馬努金給出了 4.2.4 方程

3^4+9^4=5^4+5^4+6^4+8^4.
(135)

拉馬努金給出了 4.3.3 方程

2^4+4^4+7^4=3^4+6^4+6^4
(136)
3^4+7^4+8^4=1^4+2^4+9^4
(137)
6^4+9^4+12^4=2^4+2^4+13^4
(138)

(Berndt 1994, p. 101)。Martin (1896) 中可以找到類似的例子。Gérardin (1911) 給出了引數解。

拉馬努金還給出了通用表示式

3^4+(2x^4-1)^4+(4x^5+x)^4=(4x^4+1)^4+(6x^4-3)^4+(4x^5-5x)^4
(139)

(Berndt 1994, p. 106)。Dickson (2005, pp. 653-655) 列舉了幾個給出 4.3.3 方程解的公式（formulas），Haldeman (1904) 給出了一個通用公式（formula）。

拉馬努金給出了 4.3.4 恆等式

2^4+2^4+7^4=4^4+4^4+5^4+6^4
(140)
3^4+9^4+14^4=7^4+8^4+10^4+13^4
(141)
7^4+10^4+13^4=5^4+5^4+6^4+14^4
(142)

(Berndt 1994, p. 101)。Haldeman (1904) 給出了 4-2 和 4-3 方程的通用公式（formulas）。

拉馬努金給出了

2(ab+ac+bc)^2=a^4+b^4+c^4
(143)
2(ab+ac+bc)^4=a^4(b-c)^4+b^4(c-a)^4+c^4(a-b)^4
(144)
2(ab+ac+bc)^6=(a^2b+b^2c+c^2a)^4+(ab^2+bc^2+ca^2)^4+(3abc)^4
(145)
2(ab+ac+bc)^8=(a^3+2abc)^4(b-c)^4+(b^3+2abc)^4(c-a)^4+(c^3+2abc)^4(a-b)^4,
(146)

其中

a+b+c=0
(147)

(Berndt 1994, pp. 96-97)。公式（Formula） (◇) 等價於費拉里恆等式（Ferrari's identity）

(a^2+2ac-2bc-b^2)^4+(b^2-2ab-2ac-c^2)^4+(c^2+2ab+2bc-a^2)^4=2(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc)^4.
(148)

巴爾加瓦定理（Bhargava's theorem）是一個通用恆等式，它將上述方程作為特例給出，並且可能是拉馬努金進行推導的途徑。拉馬努金提出的另一個恆等式是

(a+b+c)^4+(b+c+d)^4+(a-d)^4 =(c+d+a)^4+(d+a+b)^4+(b-c)^4,
(149)

其中 a/b=c/d，並且 4 也可以替換為 2 (Ramanujan 1987, Hirschhorn 1998)。

V. Kyrtatas (私人通訊，1997 年 6 月 19 日) 注意到 (a,b,c,d,e,f)=(3,25,38,7,20,39) 滿足

(a^4+b^4+c^4)/(d^4+e^4+f^4)=(a+b+c)/(d+e+f)
(150)

並詢問是否還有其他不同的整數解。其他解為 (285, 2964, 3249, 1769, 1952, 3721) 和 (185, 1184, 1369, 663, 858, 1521) (E. Clark, 私人通訊, 2004 年 1 月 26 日) 以及 (5160, 11481, 16641, 3683, 12446, 16129), (7367, 11954, 19321, 2660, 15029, 17689) (14925, 24676, 39601, 7527, 29722, 37249), (7136, 42593, 49729, 2387, 44702, 47089) (A. Stinchcombe, 私人通訊, 2004 年 11 月 19 日)。

另請參閱

巴爾加瓦定理, 四次冪數, 尤拉四次猜想, 福特定理, 多重次數方程, 華林問題

此條目的部分內容由 Tito Piezas III 貢獻

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參考文獻

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以此引用

Piezas, Tito III 和 Weisstein, Eric W. "丟番圖方程——四次冪。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DiophantineEquation4thPowers.html

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