伯克霍夫遍歷定理

設 為遍歷的 自同態，作用於 機率空間 ，並設 為實值 可測函式。則對於 幾乎所有 的 ，我們有

(1)

當 時。為了說明這一點，取 為某個 子集 在 上的 特徵函式，使得

(2)

公式 (1) 的左側表示 的軌道（即點 ，，，...）落在 中的頻率，而右側是 的 測度。因此，對於遍歷 自同態，“空間平均 = 時間平均，幾乎處處成立”。此外，如果 是連續的且關於 博雷爾測度 是唯一遍歷的，並且 是連續的，那麼我們可以將 (1) 中的 幾乎處處 收斂替換為“處處”收斂。