Birkhoff 定理

設 和 是在同一 signature 上的兩個代數，其載體分別為 和 （參見 泛代數）。 是 的子代數，如果 且 的每個函式都是 在 上的相應函式的限制。

代數 和 的（直）積是一個代數，其載體是 和 的 笛卡爾積，並且對於每個 和所有 以及所有 ，

在同一 signature 上的非空代數類 被稱為 簇，如果它在子代數、同態像和屬於該類的結構的任意族的笛卡爾積下是封閉的。

如果一個恆等式在該類中的每個代數中都成立，則稱一個代數類滿足恆等式 。設 為 signature 上的恆等式集合。在 上的代數類 被稱為等式類，如果它是滿足來自 的所有恆等式的代數類。在這種情況下，稱 由 公理化。

Birkhoff 定理指出， 是等式類當且僅當它是 簇。