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q-Pi

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q-Pi

pi 的 q-模擬 可以透過在 q-階乘 中設定 a=0 來定義

[a]_q!=1(1+q)(1+q+q^2)...(1+q+...+q^(a-1))
(1)

得到

1=sin_q^*(1/2pi)=(pi_q)/(([-1/2]_(q^2)!)^2q^(1/4)),
(2)

其中 sin_q^*z 是 Gosper 的 q-正弦，因此

pi_q=q^(1/4)([-1/2]_(q^2)!)^2
(3)
=1/2(1-q^2)theta_2theta_3
(4)
=1/4(1-q^2)theta_2^2(sqrt(q))
(5)
=(1-q^2)q^(1/4)product_(n=1)^(infty)((1-q^(2n))^2)/((1-q^(2n-1))^2)
(6)

(Gosper 2001年)。

它具有麥克勞林級數

pi_q=q^(-1/4)(1+2q+q^4-2q^5+q^6+2q^7-3q^8+2q^(10)-q^(12)+...)
(7)

(OEIS A144874)。

它與 Wallis 公式 (Gosper 2001年) 的 q-模擬 相關，並且具有特殊值

lim_(q->1^-)pi_q=pi.
(8)

pi_q 下的面積由下式給出

int_0^1pi_qdq=1.7249911260345...
(9)

(OEIS A144875)。

Gosper 開發了一種迭代演算法，用於基於代數遞推關係計算 pi_q

(4pi_(q^4))/(q^4+1)=((q^2+1)^2pi_q^2)/(pi_(q^2))-((q^4+1)pi_(q^2)^2)/(pi_(q^4)).
(10)

另請參閱

Pi, q-模擬, q-餘弦, q-指數函式, q-階乘, q-正弦, Wallis 公式

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參考文獻

Sloane, N. J. A. 序列 A144874 和 A144875，出自“整數序列線上百科全書”。Gosper, R. W. “q-三角學的實驗與發現。” 出自符號計算、數論、特殊函式、物理學和組合數學。1999 年 11 月 11 日至 13 日在佛羅里達大學蓋恩斯維爾舉行的會議論文集 (F. G. Garvan 和 M. E. H. Ismail 編輯)。荷蘭多德雷赫特：Kluwer 出版社，第 79-105 頁，2001 年。

在 上被引用

q-Pi

請引用為

Weisstein, Eric W. “q-Pi。” 出自 Web 資源。 https://mathworld.tw/q-Pi.html

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