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龐加萊猜想據稱證明被駁斥

作者：Eric W. Weisstein

2002年4月18日——數學中一個著名的未證明猜想指出，每個單連通 閉3-流形都同胚於3-球。 這個猜想最初由 H. 龐加萊於 1904 年提出（Poincaré 1953，第 486 和 498 頁），隨後被推廣為猜想：每個緊緻 n-流形與 n-球同倫等價當且僅當它同胚於 n-球。 廣義陳述被稱為龐加萊猜想，當 n = 3 時，它簡化為原始猜想。

廣義猜想的 n = 1 情況是平凡的，n = 2 情況是經典的，n = 3 仍然是開放的，n = 4 已於 1982 年被 Freedman 證明（為此他被授予 1986 年菲爾茲獎），n = 5 於 1961 年被 Zeeman 證明，n = 6 於 1962 年被 Stallings 證明，n >= 7 於 1961 年被 Smale 證明。（Smale 隨後擴充套件了他的證明以包括 n >= 5。）

克雷數學研究所將該猜想列入其百萬美元獎金問題清單。 2002 年 4 月，M. J. Dunwoody 發表了一篇五頁的論文，聲稱證明了該猜想。 然而，根據克雷研究所的規定，該論文必須經過兩年的學術審查才能領取獎金。 截至撰寫本文時，尚不清楚 Dunwoody 的證明是否能持續哪怕是那段時間的一小部分。

事實上，據推測，據稱的證明似乎已被發現不足，理由是：（1）摘要以“我們給出了龐加萊猜想的預期[斜體字新增]證明”開頭，以及（2）4 月 11 日修訂版的預印本的標題從“龐加萊猜想的證明”到“龐加萊猜想的證明？”發生了細微但意義重大的變化。 特別是，論文中的一個關鍵步驟似乎仍然未被證實，而 Dunwoody 本人也不知道如何填補缺失的證明。

附言：有關更多最新結果，請參閱“龐加萊猜想得到證明——這次是真的”