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Zeilberger-Bressoud 定理

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Dyson (1962abc) 猜想 洛朗級數 中的常數項

product_(1<=i!=j<=n)(1-(x_i)/(x_j))^(a_i)
(1)

是 多項式係數

((a_1+a_2+...+a_n)!)/(a_1!a_2!...a_n!),
(2)

基於粒子物理學中的一個問題。該定理被稱為 戴森猜想，並由 Wilson (1962) 和 Gunson (1962) 獨立證明。Good (1970) 隨後發表了一個權威的證明。

q-該定理的模擬（Andrews 1975）指出 x_1^0x_2^0...x_n^0 在

product_(1<=i!=j<=n)((x_i)/(x_j)epsilon_(ij);q)_(a_i)
(3)

中的係數，其中

epsilon_(ij)={1 for i<j; q for i>j
(4)

由下式給出

((q;q)_(a_1+a_2+...+a_n))/((q;q)_(a_1)(q;q)_(a_2)...(q;q)_(a_n)).
(5)

這也可以表示為

product_(1<=i<j<=n)(1-x_i/x_j)(1-qx_i/q_j)...(1-q^(a_i-1)x_i/x_j) ×(1-qx_j/x_i)(1-q^2x_j/x_i)...(1-q^(a_j)x_j/x_i),
(6)

的常數項是 q-多項式係數

([a_1+...+a_n]!)/([a_1]!...[a_n]!),
(7)

其中 [n]! 是 q-階乘。Zeilberger 和 Bressoud (1985) 給出了這個定理的驚人證明。

當 q=1 時，完整定理簡化為 Dyson 的版本。它也給出了 q-模擬 的 Dixon 定理，如

sum_(k=-infty)^infty(-1)^kq^(k(3k+1)/2)[b+c; c+k]_q[c+a; a+k]_q[a+b; b+k]_q =((q;q)_(a+b+c))/((q;q)_a(q;q)_b(q;q)_c)
(8)

(Andrews 1975, 1986)，其中 [n; k]_q 是一個 q-二項式係數。當 q=1 和 a=b=c=p 時，它給出了美麗且廣為人知的恆等式

sum_(k=0)^(2p)(-1)^k(2p; k)^3=((-1)^p(3p)!)/((p!)^3)
(9)

(Andrews 1986)。

另請參閱

Dixon 定理, q-多項式係數, Macdonald 常數項猜想, 多項式係數

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參考文獻

Andrews, G. E. "Problems and Prospects for Basic Hypergeometric Functions." In The Theory and Application of Special Functions (Ed. R. Askey). New York: Academic Press, pp. 191-224, 1975.Andrews, G. E. "The Zeilberger-Bressoud Theorem." §4.3 in q-Series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics, and Computer Algebra. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 36-38, 1986.Dyson, F. "Statistical Theory of the Energy Levels of Complex Systems. I." J. Math. Phys. 3, 140-156, 1962a.Dyson, F. "Statistical Theory of the Energy Levels of Complex Systems. II." J. Math. Phys. 3, 157-165, 1962b.Dyson, F. "Statistical Theory of the Energy Levels of Complex Systems. III." J. Math. Phys. 3, 166-175, 1962c.Good, I. J. "Short Proof of a Conjecture by Dyson." J. Math. Phys. 11, 1884, 1970.Gunson, J. "Proof of a Conjecture of Dyson in the Statistical Theory of Energy Levels." J. Math. Phys. 3, 752-753, 1962.Wilson, K. G. "Proof of a Conjecture by Dyson." J. Math. Phys. 3, 1040-1043, 1962.Zeilberger, D. and Bressoud, D. M. "A Proof of Andrews' q-Dyson Conjecture." Disc. Math. 54, 201-224, 1985.

在 中被引用

Zeilberger-Bressoud 定理

引用為

Weisstein, Eric W. "Zeilberger-Bressoud 定理。" 來自 —— Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/Zeilberger-BressoudTheorem.html

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