Macdonald 常數項猜想

Macdonald 常數項猜想與根系的李代數有關 (Macdonald 1982, Andrews 1986)。它們可以被看作是戴森猜想 (Dyson 1962)、Andrews 提出的其 -模擬以及 Mehta 猜想 (Mehta 2004) 的推廣。其中最簡單的一個陳述是，如果是一個根系，那麼中的常數項，其中是一個非負整數，為，其中是根系的固定整數引數，對應於 Weyl 群的基本不變數 (Andrews 1986, p. 41)。

Opdam (1989) 證明了所有根系的情況。一般猜想在一段時間內一直處於“幾乎被證明”的狀態，因為無限族已被 Zeilberger-Bressoud ()、Kadell (, ) 和 Gustafson (, ) 完成，而特殊情況則由 Zeilberger 和 (獨立地) Habsieger ()、Zeilberger ( 對偶) 以及 Garvan 和 Gonnet ( 和對偶) 使用 Zeilberger 的方法完成。這僅留下三個根系 (, , )，使用現有計算機難以解決。然而，與此同時，Cherednik (1993) 使用一種不依賴於分類的方法證明了所有根系的常數項猜想。

常數項猜想的一個特例由以下斷言給出，即常數項在

(1)

為。另一個特例斷言常數項在

[product_(1<=i<=n)(x_i;q)_a(q/x_i;q)_a]
×product_(1<=i<=j<=n)(x_ix_j;q)_b(q/(x_ix_j);q)_b((x_i)/(x_j);q)_b((qx_j)/(x_i);q)_b

(2)

為

(3)

(Andrews 1986, p. 41)。

另請參閱

戴森猜想, 根系, Weyl 群

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參考文獻

Andrews, G. E. "Macdonald 猜想。" §4.5 in q 級數：它們在分析、數論、組合學、物理學和計算機代數中的發展和應用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 40-42, 1986.Cherednik, I. "The Macdonald Constant-Term Conjecture." Duke Math. J. 70, 165-177, 1993.Cherednik, I. "The Macdonald Constant-Term Conjecture." Internat. Math. Res. Not., No. 6, 165-177, 1993.Dyson, F. "Statistical Theory of the Energy Levels of Complex Systems. I." J. Math. Phys. 3, 140-156, 1962.Macdonald, I. G. "Affine Root Systems and Dedekind's

-Function." Invent. Math. 15, 91-143, 1972.Macdonald, I. G. "Some Conjectures for Root Systems." SIAM J. Math. Anal. 13, 988-1007, 1982.Mehta, M. L. Random Matrices, 3rd ed. New York: Academic Press, 2004.Opdam, E. M. "Some Applications of Hypergeometric Shift Operators." Invent. Math. 98, 1-18, 1989.Stanton, D. "Sign Variations of the Macdonald Identities." SIAM J. Math. Anal. 17, 1454-1460, 1986.

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Weisstein, Eric W. "Macdonald 常數項猜想。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MacdonaldsConstant-TermConjecture.html

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