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Whitney-Mikhlin 擴充套件常數

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令 B_n(r) 為 n-維閉 球，半徑 為 r>1，中心位於原點。定義在 B(r) 上的函式被稱為定義在 B(r) 上的函式 f 在 B(1) 上的擴充套件，如果

F(x)=f(x) forall x in B(1).
(1)

給定定義在 B(1) 和 B(r) 上的函式的兩個 Banach 空間，找到從一個到另一個具有最小范數的擴充套件運算元。Mikhlin (1986) 找到了最佳常數 chi，使得滿足此條件，該條件對應於 Sobolev W(1,2) 積分範數，

sqrt(int_(B(1))[[f(x)]^2+sum_(j=1)^n((partialf)/(partialx_j))^2]dx)<=chisqrt(int_(B(r))[[F(x)]^2+sum_(j=1)^n((partialF)/(partialx_j))^2]dx).
(2)

chi(1,r)=1。令

nu=1/2(n-2),
(3)

則對於 n>2，

chi(n,r)=sqrt(1+(I_nu(1))/(I_(nu+1)(1))(I_nu(r)K_(nu+1)(1)+K_nu(r)I_(nu+1)(1))/(I_nu(r)K_nu(1)-K_nu(r)I_nu(1))),
(4)

其中 I_nu(z) 是第一類修正貝塞爾函式，而 K_nu(z) 是第二類修正貝塞爾函式。對於 n=2，

chi(2,r)=max{sqrt(1+(I_nu(1))/(I_(nu+1)(1))(I_nu(r)K_(nu+1)(1)+K_nu(r)I_(nu+1)(1))/(I_nu(r)K_nu(1)-K_nu(r)I_nu(1))),sqrt(1+(I_1(1))/(I_1(1)+I_2(1))[1+(I_1(r)K_0(1)+K_1(r)I_0(1))/(I_1(r)K_1(1)-K_1(r)I_1(1))])}.
(5)

對於 r->infty，

chi(n,infty)=sqrt(1+(I_nu(1))/(I_(nu+1)(1))(K_nu(1))/(K_nu(1))),
(6)

其邊界為

n-1<chi(n,infty)<sqrt((n-1)^2+4).
(7)

對於奇數 n，遞推關係

a_(k+1)=a_(k-1)-(2k-1)a_k
(8)
b_(k+1)=b_(k-1)+(2k-1)b_k
(9)

其中

a_0=e+e^(-1)
(10)
a_1=e-e^(-1)
(11)
b_0=e^(-1)
(12)
b_1=e^(-1)
(13)

其中 e 是常數 2.71828...，給出

chi(2k+1,infty)=sqrt(1+(a_k)/(a_(k+1))(b_(k+1))/(b_k)).
(14)

這些可以用閉合形式給出為

a_k=(2i)/eI_(k-1/2)(1)K_(1/2)(-1)
(15)
b_k=(2i)/(epi)K_(1/2)(-1)K_(k-1/2)(1)
(16)
chi(2k+1,infty)=[I_(k/2)(1)K_((k-2)/2)(1)]^(-1/2).
(17)

前幾個是

chi(3,infty)=e
(18)
chi(5,infty)=sqrt((e^2)/(e^2-7))
(19)
chi(7,infty)=sqrt(2/7)sqrt((e^2)/(37-5e^2))
(20)
chi(9,infty)=1/(sqrt(37))sqrt((e^2)/(18e^2-133))
(21)
chi(11,infty)=1/(sqrt(133))sqrt((e^2)/(2431-329e^2))
(22)
chi(13,infty)=sqrt(2/(2431))sqrt((e^2)/(3655e^2-27007)).
(23)

對於偶數 n，可以用 I_0(1)、I_1(1)、K_0(1)、K_1(1) 表示類似的公式。

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參考文獻

Finch, S. R. “Whitney-Mikhlin 擴充套件常數。” §3.8 見《數學常數》。英國劍橋：劍橋大學出版社，第 227-229 頁，2003 年。Mikhlin, S. G. 《分析中一些不等式中的常數》。紐約：Wiley，1986 年。

在 上被引用

Whitney-Mikhlin 擴充套件常數

請引用為

Weisstein, Eric W. “Whitney-Mikhlin 擴充套件常數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Whitney-MikhlinExtensionConstants.html

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