環面交叉數

圖 的環面交叉數 是圖 在環面上繪製時所需的最小交叉數。

平面圖的環面交叉數為 0，環面交叉數為 0 的非平面圖稱為環面圖。環面交叉數為 0 的非平面圖的圖虧格為 1，因為它可以在環面上嵌入（但不能在平面上嵌入），且沒有交叉。

圖交叉數 Graph Crossing Number 或直線交叉數 Rectilinear Crossing Number 小於 2 的圖的環面交叉數為 0。更一般地，移除單條邊後變為平面圖的圖（換句話說，圖的偏斜度 的圖 ）也具有環面交叉數 0。然而，存在環面交叉數 的圖，其所有移除單邊子圖都是非平面圖，因此這個條件是充分的但不是必要的。

如果一個有 條邊的圖 的環面交叉數 ，那麼 (Pach and Tóth 2005)，其中 表示二項式係數。此外，如果 是一個有 個頂點，最大頂點度 的圖，且其環面交叉數 ，那麼

(1)

其中 是一個正常數 (Pach and Tóth 2005)。

完全圖 對於 , 2, ... 的環面交叉數是 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 9, 23, 42, 70, 105, 154, 226, 326, ... (OEIS A014543)。

在環面上的交叉數由下式給出

(2)

(Guy and Jenkyns 1969, Ho 2005)。因此，對於 , 2, ... 的前幾個值是 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... (OEIS A008724)。

在環面上的交叉數由下式給出

(3)

(Ho 2009)。因此，對於 , 2, ... 的前幾個值是 0, 0, 0, 0, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 36, ... (OEIS A182568)。有趣的是，相同的結果也適用於 、、 和 。

完全二分圖 的環面交叉數總結在下表中。

	1	2	3	4	5	6
1	0	0	0	0	0	0
2		0	0	0	0	0
3			0	0	0	0
4				0	2	4
5					5	8
6						12