完美幻立方

完美幻立方是指這樣一種幻立方：它的行、列、柱、空間對角線，以及每個正交切片的對角線之和都等於同一個數（即幻和 ）。雖然這種術語在已出版的文獻中是標準的（Gardner 1976，Benson and Jacoby 1981，Gardner 1988，Pickover 2002），但有人在不同時期建議將這種立方體稱為邁爾斯立方體、邁爾斯對角線立方體或對角線幻立方（Heinz）。

存在一個一階的平凡完美幻立方，但不存在 2-4 階的完美幻立方（Schroeppel 1972；Benson and Jacoby 1981，pp. 23-25；Gardner 1988）。雖然自 19 世紀後期以來，人們就已經知道 7 階和 9 階的普通完美幻立方，但長期以來人們並不知道是否存在 5 階或 6 階的完美幻立方（Wells 1986，p. 72），儘管 Schroeppel (1972) 和 Gardner (1988) 指出，任何這樣的立方體的中心值都必須為 63。（令人困惑的是，Benson 和 Jacoby（1981，p. 5）給出的表格中包含條目“--僅限泛對角線”，錯誤地暗示了 5 階完美幻立方是不可能的。）然後，在 2003 年 11 月 14 日，C. Boyer 和 W. Trump 發現了上面以三維形式和橫截面形式展示的五階完美幻立方（Schroeppel 2003，Augereau 2003，Weisstein 2003）。正如預期的那樣，這個立方體的中心值為 63。

Boyer 和 Trump 的發現緊隨 Trump 在 2003 年 9 月 1 日首次發現的已知 6 階完美幻立方（Boyer），如上圖所示。

第一個發表的完美幻立方是由劍橋聖約翰學院的 A. H. Frost 牧師發現的 7 階立方體（Frost 1866）。由於 Frost 曾是印度納西克的傳教士，他將他構造的這種特殊型別的幻立方稱為納西克立方體。Langman (1962) 隨後構造了另一個 7 階完美幻立方，R. Schroeppel 和 Ernst Straus 也發現了其他的完美幻立方（Wells 1986，p. 72）。

第一個發表的 8 階完美幻立方是由 Gustavus Frankenstein 構造的，並於 1875 年 3 月 11 日在《辛辛那提商業報》上發表（Barnard 1888，Gardner 1976，Benson and Jacoby 1981，Gardner 1988；Boyer）。Frankenstein 對他的發現充滿詩意，他接著寫道：“這個發現給我帶來的滿足感比我在門檻下發現金礦還要大；正是這樣的喜悅讓貧窮比克羅伊索斯的財富更甜蜜。” Ball 和 Coxeter (1987) 討論了 8 階完美幻立方的構造。Rosser 和 Walker 在 1930 年代後期重新發現了 8 階立方體，但沒有發表，Myers 在 1970 年獨立發現了上面顯示的立方體（Wells 1986，p. 72；Gardner 1988）。

Frost (1878) 發現了一個 9 階完美幻立方，但它沒有使用連續的數字。第一個發表的 9 階普通完美幻立方是由 Planck (1905) 發現的。第一個 10 階完美幻立方是 Li Wen 在 1988 年構造的，並在 2003 年 12 月告知了 C. Boyer。11 階和 12 階的完美幻立方也是已知的（Barnard 1888，Benson 1981，Boyer）。下表總結了已知的完美幻立方及其發現者 (Boyer)。

	階數
3	不可能
4	不可能 (Schroeppel 1972)
5	Trump 和 Boyer (Boyer, Weisstein 2003)
6	Trump (Boyer, Weisstein 2003)
7	Frost (1866)
8	Frankenstein (1875)
9	Planck (1905)
10	李文 (1988, Boyer)
11	Barnard (1888)
12	Benson (1981)