雙重幻立方

雙重幻立方是一個（普通的）幻立方，當其所有元素平方後仍然是幻立方。當然，即使是普通的幻立方在平方後也會變成非普通的（即，包含非連續元素）。

Cazalas (1934) 嘗試構建雙重幻立方但失敗了 (Boyer)。 David M. Collison 顯然在一篇未發表的論文中構建了一個 25 階雙重幻立方 (Hendricks 1992)，但直到 2000 年，John Hendricks 才發表了一個 25 階完美幻立方，其平方是一個半完美幻立方。

2003 年 1 月 20 日，Christian Boyer 發現了一個 16 階雙重幻立方（其中立方體本身是完美幻立方，但其平方僅是半完美幻立方）。 緊隨其後的是 1 月 23 日的另一個 16 階雙重幻立方（其中基本立方體是完美的，其平方是半完美的），1 月 27 日的 32 階雙重幻立方（其中基本立方體及其平方都是完美的），以及 2003 年 2 月 3 日的 27 階雙重幻立方（其中基本立方體是完美的，但其平方是半完美的）。

因此，Boyer 的 16 階立方體成為已知的最小雙重幻立方，而他的 32 階立方體成為第一個已知的完美雙重幻立方。