如果在幻方中將每個數字替換為其平方後產生另一個幻方，則該幻方被稱為雙重幻方。雙重幻方也稱為雙魔幻方，是 2-多重幻方。
盧卡斯 (1891) 和後來的亨德里克斯 (1998) 表明，對於任何數字集，除了使用相同數字 9 次的簡單情況外，3 階雙重幻方是不可能的。
第一個已知的雙重幻方，由 Pfeffermann (1891a；左圖) 構建，具有 8 階，基本幻方的幻和為 260，平方後的幻和為 
。右圖顯示了另一個 8 階雙重幻方。
本森和雅各比 (1976) 表示他們相信不存在小於 8 階的雙重幻方，後來 Boyer 和 Trump 在 2002 年證明了這一點 (Boyer)。
Pfeffermann (1891b) 還發表了第一個 9 階雙重幻方。僅發表了 Pfeffermann 最初的 8 階和 9 階雙重幻方的一部分，其餘部分作為謎題留給讀者完成，其解決方案在隨後幾期的兩週後出現 (Boyer)。
Wroblewski 發現了第一個已知的 
雙重幻方，它使用不同的（但非連續的）整數 (Boyer 2006)，如上所示。
另請參閱
雙重幻立方,
幻方,
多重幻方,
泛幻方,
三重幻方
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參考文獻
Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 212, 1987.Benson, W. H. and Jacoby, O. New Recreations with Magic Squares. New York: Dover, 1976.Boyer, C. "Multimagic Squares." http://www.multimagie.com/indexengl.htm.Boyer, C. "Bimagic Squares." http://www.multimagie.com/English/Bimagic.htm.Boyer, C. "Smallest Bimagic Square." http://www.multimagie.com/English/Smallestbi.htm.Boyer, C. "Multimagie News." Apr. 4, 2006. http://www.multimagie.com/English/News0604.htm.Hendricks, J. R. "Note on the Bimagic Square of Order 3." J. Recr. Math. 29, 265-267, 1998.Hunter, J. A. H. and Madachy, J. S. "Mystic Arrays." Ch. 3 in Mathematical Diversions. New York: Dover, p. 31, 1975.Kraitchik, M. "Multimagic Squares." §7.10 in Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, pp. 143 and 176-178, 1942.Lucas, E. "Les carrés magiques. Sur le carré de 3 et sur les carrés à deux degrés." Les Tablettes du Chercheur. No. 5, p. 7, March 1, 1891.Pfeffermann, G. "Carré magique à deux degrés." Les Tablettes du Chercheur. No. 2, p. 6, January 15, 1891a.Pfeffermann, G. "Carré magique de 9 à deux degrés." Les Tablettes du Chercheur. No. 14, pp. 5-6, July 15, 1891b.在 中被引用
雙重幻方
請這樣引用
Weisstein, Eric W. “雙重幻方。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BimagicSquare.html
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