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八面體數

一個 圖形數，它是兩個連續的稜錐數之和，

O_n=P_(n-1)+P_n=1/3n(2n^2+1).
(1)

前幾個是 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, ... (OEIS A005900)。八面體數的生成函式是

(x(x+1)^2)/((x-1)^4)=x+6x^2+19x^3+44x^4+....
(2)

波洛克 (1850) 推測每個數都是最多 7 個八面體數之和 (Dickson 2005, p. 23)。

HauyOctahedron03
HauyOctahedron05
HauyOctahedron07
HauyOctahedron09
HauyOctahedron11

一組相關的數是八面體的 Haűy 構造中的立方體數量。每個橫截面的面積是

S_n=n+2sum_(i=1,3,...,n-2)i=1/2(n^2+1),
(3)

其中 n 是一個奇數，並且新增所有橫截面得到

HO_k=S_k+2sum_(i=1,3,...,k-2)S_i=1/6k(k^2+5),
(4)

對於 k 一個奇數。重新索引使得 k=2n-1 得到

HO_n=1/3(2n-1)(2n^2-2n+3),
(5)

前幾個值是 1, 7, 25, 63, 129, ... (OEIS A001845)。這些數字的生成函式是

f(x)=((1+x)^3)/((1-x)^4)=1+7x+25x^2+63x^3+129x^4+....
(6)

另請參閱

Haűy 構造, 八面體, 截角八面體數

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參考文獻

Conway, J. H. and Guy, R. K. 數之書. New York: Springer-Verlag, p. 50, 1996.Dickson, L. E. 數論史，第 2 卷：丟番圖分析. New York: Dover, 2005.Pollock, F. "關於費馬多邊形數定理原理擴充套件到更高階級數的論文，這些級數的最終差值是常數。並提出了一個適用於所有階級的新定理。" Abs. Papers Commun. Roy. Soc. London 5, 922-924, 1843-1850.Sloane, N. J. A. 序列 A001845/M4384 和 A005900/M4128 在“整數序列線上百科全書”中.

在 中被引用

八面體數

請引用為

埃裡克·韋斯坦因 "八面體數。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/OctahedralNumber.html

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