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洛倫茲吸引子

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洛倫茲吸引子是一個吸引子，它出現在描述均勻深度 H 的流體二維流動的簡化方程組中，該流動受到重力 g 作用，並具有溫度差 DeltaT、浮力 alpha、熱擴散率 kappa 和運動粘度 nu。 完整方程如下：

partial/(partialt)(del ^2phi)=(partialpsi)/(partialz)partial/(partialx)(del ^2psi)-(partialpsi)/(partialx)partial/(partialz)(del ^2psi)+nudel ^2(del ^2psi)+galpha(dT)/(dx)
(1)
(partialT)/(partialt)=(partialT)/(partialz)(partialpsi)/(partialx)-(partialtheta)/(partialx)(partialpsi)/(partialz)+kappadel ^2T+(DeltaT)/H(partialpsi)/(partialx).
(2)

這裡，psi 是一個流函式，定義為流體運動的速度分量 u=(u,w) 為

u=(partialpsi)/(partialz)
(3)
w=-(partialpsi)/(partialx)
(4)

(Tabor 1989, 第 205 頁)。

在 1960 年代初期，洛倫茲意外地發現了這個系統的混沌行為，當時他發現，對於一個簡化的系統，形式為 的週期解

psi=psi_0sin((piax)/H)sin((piz)/H)
(5)
theta=theta_0cos((piax)/H)sin((piz)/H)
(6)

在瑞利數大於臨界值 Ra>Ra_c 時增長。此外，初始值非常小的變化也會導致截然不同的結果，這代表了所謂蝴蝶效應的最早發現之一。

洛倫茲包含了以下項

X=psi_(11)
(7)
Y=T_(11)
(8)
Z=T_(02),
(9)

其中 X 與對流強度成正比，Y 與下降和上升電流之間的溫差成正比，Z 與其方程組中垂直溫度剖面與線性的差異成正比。 由此，他得到了簡化的方程

X^.=sigma(Y-X)
(10)
Y^.=-XZ+rX-Y
(11)
Z^.=XY-bZ,
(12)

現在被稱為洛倫茲方程。 這裡，X^.=dX/dt, Y^.=dY/dt, Z^.=dZ/dt, 以及

sigma=nu/kappa
(13)
r=(Ra)/(Ra_c)
(14)
b=4/(1+a^2).
(15)

其中 sigma 是普朗特數，Ra 是瑞利數，Ra_c 是臨界瑞利數，b 是一個幾何因子 (Tabor 1989, 第 206 頁)。 洛倫茲取 b=8/3 和 sigma=10。

洛倫茲吸引子的關聯維數為 2.05+/-0.01，容量維數為 2.06+/-0.01 (Grassberger and Procaccia 1983)。 更多詳情請參見 Lichtenberg 和 Lieberman (1983, 第 65 頁) 以及 Tabor (1989, 第 204 頁)。 作為他為數學提出的具有挑戰性的問題列表之一 (斯梅爾問題)，斯梅爾 (Smale) (1998, 2000) 提出了一個開放性問題，即洛倫茲吸引子是否是奇異吸引子。 Tucker (2002) 肯定地回答了這個問題，他的技術證明結合了正規化理論和驗證區間算術。

LorenzAttractor

在 (0, 0, 0) 的臨界點對應於無對流，以及在 臨界點

(sqrt(b(r-1)),sqrt(b(r-1)),r-1)
(16)

和

(-sqrt(b(r-1)),-sqrt(b(r-1)),r-1)
(17)

對應於穩態對流。 只有當

r=(sigma(sigma+b+3))/(sigma-b-1),
(18)

時，這對點才是穩定的，這隻有當 sigma>b+1 時，才能對正 r 成立。

Lorenz attractor laser-etched crystal (Bathsheba Grossman)

上面的影像展示了數字雕塑家 Bathsheba Grossman (http://www.bathsheba.com/) 雷射蝕刻在玻璃上的洛倫茲吸引子。

另請參閱

蝴蝶效應, 洛倫茲方程, 羅 Rössler 吸引子, 斯梅爾問題, 奇異吸引子

使用 探索

參考文獻

Gleick, J. 混沌：一門新科學的誕生。 New York: Penguin Books, pp. 27-31, center plate (following p. 114), and p. 140, 1988.Grassberger, P. and Procaccia, I. "測量奇異吸引子的奇異性。" Physica D 9, 189-208, 1983.Grossman, B. "洛倫茲吸引子水晶。" http://www.bathsheba.com/crystalsci/lorenz/.Guckenheimer, J. "一個奇異的，奇異的吸引子。" In The Hopf Bifurcation and Its Applications (Ed. J. E. Marsden and M. McCracken). New York: Springer-Verlag, 1976.Guckenheimer, J. and Williams, R. F. "洛倫茲吸引子的結構穩定性。" Publ. Math. IHES 50, 307-320, 1979.Lichtenberg, A. and Lieberman, M. 規則和隨機運動。 New York: Springer-Verlag, 1983.Lorenz, E. N. "確定性非週期流動。" J. Atmos. Sci. 20, 130-141, 1963.Lorenz, E. N. "關於簡單系統中非週期性的普遍性。" In Global Analysis: Proceedings of the Biennial Seminar of the Canadian Mathematical Congress Held at the University of Calgary, Alberta, June 12-27 (Ed. M. Grmela and J. E. Marsden). New York: Springer-Verlag, pp. 53-75, 1979.Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; and Saupe, D. 混沌與分形：科學的新領域。 New York: Springer-Verlag, pp. 697-708, 1992.Rand, D. "洛倫茲吸引子的拓撲分類。" Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 83, 451-460, 1978.Smale, S. "下個世紀的數學問題。" Math. Intelligencer 20, No. 2, 7-15, 1998.Smale, S. "下個世紀的數學問題。" In Mathematics: Frontiers and Perspectives 2000 (Ed. V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, and B. Mazur). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Sparrow, C. 洛倫茲方程：分岔，混沌和奇異吸引子。 New York: Springer-Verlag, 1982.Stewart, I. "洛倫茲吸引子存在。" Nature 406, 948-949, 2000.Tabor, M. 非線性動力學中的混沌與可積性：導論。 New York: Wiley, 1989.Tucker, W. "一個嚴格的 ODE 求解器和斯梅爾的第 14 個問題。" Found. Comput. Math. 2, 53-117, 2002.Viana, M. "關於洛倫茲奇異吸引子的新進展。" Math. Intell. 22, 6-19.Weisstein, E. W. "斯梅爾的第 14 個問題已解決。" Headline News, Feb. 13, 2002. https://mathworld.tw/news/2002-02-13/smale14th/.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的幾何詞典。 London: Penguin, pp. 142-143, 1991.Williams, R. F. "洛倫茲吸引子的結構。" Publ. Math. IHES 50, 321-347, 1979.Yorke, J. A. and Yorke, E. D. "亞穩態混沌：洛倫茲模型中向持續混沌振盪的過渡。" J. Stat. Phys. 21, 263-277, 1979.

在 中被引用

洛倫茲吸引子

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "洛倫茲吸引子。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LorenzAttractor.html

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