Hopf-Rinow定理

設 為一個 黎曼流形，並令 上的拓撲度量透過取連線兩點的曲線長度的下確界來定義。那麼 Hopf-Rinow 定理指出以下陳述是等價的

1. 是測地完備的，即，所有測地線對所有時間都有定義。

2. 在某個點 處是測地完備的，即，所有透過 的測地線對所有時間都有定義。

3. 滿足 Heine-Borel 性質，即，每個閉有界集是緊緻的。

4. 是度量完備的。