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亥姆霍茲微分方程——橢圓柱座標系

在橢圓柱座標系中，尺度因子為 h_u=h_v=sqrt(sinh^2u+sin^2v), h_z=1, 且分離函式為 f_1(u)=f_2(v)=f_3(z)=1, 得到 斯塔克爾行列式 S=(sin^2v+sinh^2u)。亥姆霍茲微分方程為

1/(sinh^2u+sin^2v)((partial^2F)/(partialu^2)+(partial^2F)/(partialv^2))+(partial^2F)/(partialz^2)+k^2F=0.
(1)

嘗試分離變數法，寫作

F(u,v,z)=U(u)V(v)Z(z),
(2)

則亥姆霍茲微分方程變為

Z/(sinh^2u+sin^2v)(V(d^2U)/(du^2)+U(d^2V)/(dv^2))+UV(d^2Z)/(dz^2)+k^2UVZ=0.
(3)

現在除以 UVZ 得到

1/(sinh^2u+sin^2v)(1/U(d^2U)/(du^2)+1/V(d^2V)/(dv^2))+1/Z(d^2Z)/(dz^2)+k^2=0.
(4)

分離 Z 部分，

1/Z(d^2Z)/(dz^2)=-(k^2+m^2) 1/(sinh^2u+sin^2v)(1/U(d^2U)/(du^2)+1/V(d^2V)/(dv^2))=m^2,
(5)

因此

(d^2Z)/(dz^2)=-(k^2+m^2)Z,
(6)

其解為

Z(z)=A_(km)cos(sqrt(k^2+m^2)z)+B_(km)sin(sqrt(k^2+m^2)z).
(7)

重寫 (◇) 得到

(1/U(d^2U)/(du^2)-m^2sinh^2u)+(1/V(d^2V)/(dv^2)-m^2sin^2v)=0,
(8)

可以分離為

1/U(d^2U)/(du^2)-m^2sinh^2u=c
(9)
c+1/V(d^2V)/(dv^2)-m^2sin^2v=0,
(10)

因此

(d^2U)/(du^2)-(c+m^2sinh^2u)U=0
(11)
(d^2V)/(dv^2)+(c-m^2sin^2v)V=0.
(12)

現在使用

sinh^2u=1/2[cosh(2u)-1]
(13)
sin^2v=1/2[1-cos(2v)]
(14)

得到

(d^2U)/(du^2)-{c+1/2m^2[cosh(2u)-1]}U=0
(15)
(d^2V)/(dv^2)+{c-1/2m^2[1-cos(2v)]}V=0.
(16)

重新分組得到

(d^2U)/(du^2)-[(c-1/2m^2)+1/2m^2cosh(2u)]U=0
(17)
(d^2V)/(dv^2)+[(c-1/2m^2)+1/2m^2cos(2v)]V=0.
(18)

設 a=c-m^2/2 和 q=-m^2/4, 則它們變為

(d^2V)/(dv^2)+[a-2qcos(2v)]V=0
(19)
(d^2U)/(du^2)-[a-2qcosh(2u)]U=0.
(20)

這裡，(19) 是馬蒂厄微分方程，(20) 是修正的馬蒂厄微分方程。這些解被稱為馬蒂厄函式。

另請參閱

橢圓柱座標系, 亥姆霍茲微分方程, 馬蒂厄微分方程, 馬蒂厄函式

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "馬蒂厄函式." 第 20 章，數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約: Dover, pp. 721-746, 1972.Moon, P. 和 Spencer, D. E. 場論手冊，包括座標系、微分方程及其解，第 2 版。 紐約: Springer-Verlag, pp. 17-19, 1988.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理論物理方法，第一部分。 紐約: McGraw-Hill, pp. 514 和 657, 1953.

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "亥姆霍茲微分方程——橢圓柱座標系." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HelmholtzDifferentialEquationEllipticCylindricalCoordinates.html

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