一個 求根演算法，也稱為切線雙曲線法或哈雷有理公式。與 哈雷無理公式 一樣，取二階 泰勒級數
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(1)
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根 
滿足 
，因此
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(2)
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現在寫出
![0=f(x_n)+(x_(n+1)-x_n)[f^'(x_n)+1/2f^('')(x_n)(x_(n+1)-x_n)],](/images/equations/HalleysMethod/NumberedEquation3.svg) |
(3)
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給出
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(4)
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使用來自 牛頓法 的結果，
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(5)
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給出
![x_(n+1)=x_n-(2f(x_n)f^'(x_n))/(2[f^'(x_n)]^2-f(x_n)f^('')(x_n)),](/images/equations/HalleysMethod/NumberedEquation6.svg) |
(6)
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所以迭代函式是
![H_f(x)=x-(2f(x)f^'(x))/(2[f^'(x)]^2-f(x)f^('')(x)).](/images/equations/HalleysMethod/NumberedEquation7.svg) |
(7)
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這滿足 
，其中 
是一個 根，所以對於簡單零點，它是三階的。奇怪的是，三階導數
![H_f^(''')(alpha)=-{(f^(''')(alpha))/(f^'(alpha))-3/2[(f^('')(alpha))/(f^'(alpha))]^2}](/images/equations/HalleysMethod/NumberedEquation8.svg) |
(8)
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是 施瓦茨導數。哈雷法也可以透過將 牛頓法 應用於 
來推導。它也可以透過使用 密切曲線 的形式 來推導
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(9)
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求導數，
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(10)
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(11)
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(12)
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它有解
 |  | ![-(f^('')(x_n))/(2[f^'(x_n)]^2-f(x_n)f^('')(x_n))](/images/equations/HalleysMethod/Inline17.svg) |
(13)
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 |  | ![(2f^'(x_n))/(2[f^'(x_n)]^2-f(x_n)f^('')(x_n))](/images/equations/HalleysMethod/Inline20.svg) |
(14)
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 |  | ![(2f(x_n)f^'(x_n))/(2[f^'(x_n)]^2-f(x_n)f^('')(x_n)),](/images/equations/HalleysMethod/Inline23.svg) |
(15)
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所以在一個 根 處，
並且
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(16)
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這就是哈雷法。
