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Haar 函式

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定義

psi(x)={1 0<=x<1/2; -1 1/2<x<=1; 0 otherwise
(1)

和

psi_(jk)(x)=psi(2^jx-k)
(2)

對於 j 一個非負整數和 0<=k<=2^j-1。

HaarFns

因此，例如，psi_(jk)(x) 的前幾個值是

psi_(00)=psi(x)
(3)
psi_(10)=psi(2x)
(4)
psi_(11)=psi(2x-1)
(5)
psi_(20)=psi(4x)
(6)
psi_(21)=psi(4x-1)
(7)
psi_(22)=psi(4x-2)
(8)
psi_(23)=psi(4x-3).
(9)

那麼一個函式 f(x) 可以透過以下級數展開式表示：

f(x)=c_0+sum_(j=0)^inftysum_(k=0)^(2^j-1)c_(jk)psi_(jk)(x).
(10)

函式 psi_(jk) 和 psi 在 [0,1] 上都是正交的，其中

int_0^1psi(x)psi_(jk)(x)dx=0
(11)
int_0^1psi_(jk)(x)psi_(lm)(x)dx=0
(12)

對於第一種情況 (j,k)!=(0,0)，對於第二種情況 (j,k)!=(l,m)。

這些函式可以用來定義小波。令一個函式定義在 n 個區間上，其中 n 是 2 的冪。那麼任意函式可以被視為一個 n-向量 f，並且展開式 b 中的係數可以透過解矩陣方程來確定

f=W_nb
(13)

對於 b，其中 W 是 psi 基函式的矩陣。例如，四階 Haar 函式小波矩陣由下式給出

W_4=[1 1 1 0; 1 1 -1 0; 1 -1 0 1; 1 -1 0 -1]
(14)
=[1 1 0 0; 1 -1 0 0; 0 0 1 1; 0 0 1 -1][1 0 0 0; 0 0 1 0; 0 1 0 0; 0 0 0 1][1 1 0 0; 1 -1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1].
(15)

參見

小波, 小波矩陣, 小波變換

使用 探索

參考文獻

Haar, A. "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme." Math. Ann. 69, 331-371, 1910.Strang, G. "Wavelet Transforms Versus Fourier Transforms." Bull. Amer. Math. Soc. 28, 288-305, 1993.

在 中被引用

Haar 函式

如此引用

Weisstein, Eric W. "Haar 函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HaarFunction.html

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